[论文解读] Interpolation between H^p spaces and non-commutative generalizations, I

Gilles Pisier|ArXiv.org|Jun 4, 1991

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 9被引用 25

一句话总结

本文提出了一种初等证明，表明单位圆盘上的 Hardy 空间 $H^p$ 是 $H^1$ 与 $H^\infty$ 之间的实 interpolation 空间，仅使用 Hilbert 变换的有界性与经典分解。该方法可推广至非交换设置，确立了 $H^p(C_p)$ 与 $T_p$ 分别为 $H^1(C_1)$、$H^\infty(C_\infty)$ 与 $T_1$、$T_\infty$ 之间的 interpolation 空间，其范数等价性由与 $L_p$ 空间中相同的 K-泛函给出。

ABSTRACT

We give an elementary proof that the $H^p$ spaces over the unit disc (or the upper half plane) are the interpolation spaces for the real method of interpolation between $H^1$ and $H^\infty$. This was originally proved by Peter Jones. The proof uses only the boundedness of the Hilbert transform and the classical factorisation of a function in $H^p$ as a product of two functions in $H^q$ and $H^r$ with $1/q+1/r=1/p$. This proof extends without any real extra difficulty to the non-commutative setting and to several Banach space valued extensions of $H^p$ spaces. In particular, this proof easily extends to the couple $H^{p_0}(\ell_{q_0}),H^{p_1}(\ell_{q_1})$, with $1\leq p_0, p_1, q_0, q_1 \leq \infty$. In that situation, we prove that the real interpolation spaces and the K-functional are induced ( up to equivalence of norms ) by the same objects for the couple $L_{p_0}(\ell_{q_0}), L_{p_1}(\ell_{q_1})$. In another direction, let us denote by $C_p$ the space of all compact operators $x$ on Hilbert space such that $tr(|x|^p)

研究动机与目标

• 提供 Peter Jones 定理关于 $H^p$ 作为 $H^1$ 与 $H^\infty$ 之间实 interpolation 空间的全新初等证明。
• 将 interpolation 结果推广至非交换设置，包括算子空间 $C_p$ 与上三角矩阵 $T_p$。
• 证明 $H^p(C_p)$ 与 $T_p$ 的实 interpolation 空间由与 $L_p$ 空间中相同的 K-泛函刻画。
• 将结果推广至取值于 Banach 空间的 $H^p$ 空间，并通过 interpolation 建立范数等价性。

提出的方法

• 使用 '平方/对偶/平方' 论证：若 $(H^{2p}, H^{2q})$ 具备 K-闭性，则通过点乘映射到 $(H^p, H^q)_{1/2,\infty}$ 的有界性，可推出 $(H^p, H^q)$ 的 K-闭性。
• 应用对偶性：$(H^p, H^q)$ 是 K-闭的当且仅当 $(H^{p'}, H^{q'})$ 是 K-闭的，其中 $1/p + 1/p' = 1$。
• 利用 Marcel Riesz 定理：Hilbert 变换在 $1 < p < \infty$ 下关于 $L_p$ 一致有界，由此建立 $(H^4, H^2)$ 的 K-闭性，再通过平方/对偶/平方链逐步下推。
• 使用经典分解：任给 $f \in H^p$，可写为 $gh$，其中 $g \in H^{2p}$，$h \in H^{2q}$，且满足 $1/p = 1/(2p) + 1/(2q)$，借此将 interpolation 与乘积结构联系起来。
• 通过等距嵌入 $K_q: C_q(H) \to C_{q,\infty}(H \otimes \ell_2)$ 与商空间 $T_1/S_1$、$T_\infty/S_\infty$ 上的对偶性论证，将证明推广至非交换设置。
• 将相同框架应用于取值于 Banach 空间 $B$ 的 $H^p(B)$，通过分解与乘法算子的 interpolation 证明 $H^p(B) = (H^1(B), H^\infty(B))_\theta$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用基本调和分析，不依赖复分析或高级工具，证明 $H^p$ 在 $H^1$ 与 $H^\infty$ 之间的实 interpolation 性质？
• RQ2 $H^p$ 空间的实 interpolation 结构是否可推广至非交换算子空间，如 $C_p$ 与 $T_p$？
• RQ3 $H^p(C_p)$ 的 K-泛函是否与 $L_p(C_p)$ 的 K-泛函等价，且是否与底层 $L_p$ 对的 K-泛函一致？
• RQ4 能否通过分解与有界乘法算子，建立取值于 Banach 空间 $B$ 的 $H^p(B)$ 的 interpolation 结果？
• RQ5 在 $C_1$ 与 $C_\infty$ 中，到上三角矩阵子空间的距离是否可由同一算子同时实现，如 Kaftal-Larson-Weiss 所建议？

主要发现

• 对于 $0 < p < \infty$，空间 $H^p$ 是实 interpolation 空间 $(H^1, H^\infty)_\theta$，其中 $\theta = 1/p$，且范数等价。
• 该证明仅依赖于 Hilbert 变换在 $L_p$ 上的有界性（$1 < p < \infty$）以及 $H^p$ 函数的经典分解为 $H^{2p}$ 与 $H^{2q}$ 函数的乘积。
• $H^p(C_p)$ 与 $(H^1(C_1), H^\infty(C_\infty))_\theta$（$1/p = 1 - \theta$）同构，且其范数与 $L_p(C_p)$ 中的范数等价。
• 上三角矩阵空间 $T_p$ 是实 interpolation 空间 $(T_1, T_\infty)_\theta$，其范数等价性与 $L_p$ 空间中一致。
• 对任意可分 Hilbert 空间 $H$，有 $H^p(C_p(H)) = (H^1(C_1(H)), H^\infty(B(H)))_\theta$，其中 $\theta = 1 - 1/p$，且对 $\widetilde{H}^p$-空间同样成立。
• 在 $C_1$ 与 $C_\infty$ 中，到上三角矩阵子空间的距离可由同一算子同时实现，将 Kaftal-Larson-Weiss 的结果推广至整个尺度 $p \in [1, \infty]$。