[论文解读] Interpolation in the noncommutative Schur-Agler class

Joseph A. Ball, Vladimir Bolotnikov|ArXiv.org|Jun 26, 2005

Holomorphic and Operator Theory参考文献 53被引用 24

一句话总结

本文将经典的插值理论从交换的 Schur-Agler 类扩展到非交换的 Schur-Agler 类，其特征为非交换 von Neumann 不等式以及保守型结构化多维系统的线性分式传递函数。关键结果表明，具有交换数据的插值问题可通过交换化转化为可解的交换插值问题，其充要条件由数据上的正半定 Stein 型矩阵条件给出。

ABSTRACT

The class of Schur-Agler functions over a domain ${\mathcal D} \subset {\mathbb C}^{d}$ is defined as the class of holomorphic operator-valued functions on ${\mathcal D}$ for which a certain von Neumann inequality is satisfied when a commuting tuple of operators satisfying a certain polynomial norm inequality is plugged in for the variables. Such functions are alternatively characterized as those having a linear-fractional presentation which identifies them as transfer functions of a certain type of conservative structured multidimensional linear system. There now has been introduced a noncommutative version of the Schur-Agler class which consists of formal power series in noncommuting indeterminants satisfying a noncommutative version of the von Neumann inequality when a tuple of operators (not necessarily commuting) coming from a noncommutative operator ball are plugged in for the formal indeterminants. Formal power series in this noncommutative Schur-Agler class in turn are characterized as those having a certain linear-fractional presentation in noncommuting variables identifying them as transfer functions of a recently introduced class of conservative structure multidimensional linear systems having evolution along a free semigroup rather than along an integer lattice. The purpose of this paper is to extend the previously developed interpolation theory for the commutative Schur-Agler class to this noncommutative setting.

研究动机与目标

• 将经典的插值理论从交换的 Schur-Agler 类扩展到非交换情形。
• 利用保守型结构化多维系统，刻画非交换不定元形式幂级数的插值问题。
• 证明具有交换数据的插值问题可通过交换化还原为交换 Schur-Agler 类中的可解问题。
• 通过 Stein 型矩阵条件，推导非交换插值问题可解性的必要与充分条件。

提出的方法

• 将非交换不定元的形式幂级数表征为具有自由半群演化的保守型结构化多维线性系统（SNMLS）的传递函数。
• 通过非交换算子球中非交换算子元组的非交换 von Neumann 不等式，定义非交换 Schur-Agler 类。
• 利用非交换幂级数的左、右求值映射来表述插值问题，推广了经典的 Nevanlinna-Pick 与 Carathéodory-Fejér 设置。
• 对非交换函数进行交换化，将其映射为交换 Schur-Agler 类中的交换函数，从而实现向已知可解性准则的约化。
• 关键的技术工具是推导出涉及算子 $ M, N, X, Y $ 的 Stein 方程，其可解性条件表示为：对某个正半定 $ P $，有 $ M^* P M - N^* P N = X^* X - Y^* Y $。
• 针对特殊情况（如点求值数据）推导出显式矩阵表示，得到矩阵 $ \big[ \frac{b_i b_j^* - c_i c_j^*}{1 - \langle \lambda_i, \lambda_j \rangle} \big] $ 的正半定性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将交换 Schur-Agler 类的插值理论扩展到非交换情形？
• RQ2 刻画非交换 Schur-Agler 类的非交换 von Neumann 不等式的非交换类比是什么？
• RQ3 如何将非交换不定元中的插值问题约化为交换情形下的可解问题？
• RQ4 对于具有交换数据的非交换插值问题，其解存在的必要与充分条件是什么？

主要发现

• 通过非交换算子球中非交换算子元组的非交换 von Neumann 不等式，定义了非交换 Schur-Agler 类。
• 该类中的形式幂级数可表示为具有自由半群演化的保守型结构化多维线性系统的线性分式传递函数。
• 具有交换数据的插值问题可通过非交换函数的交换化，约化为交换 Schur-Agler 类中的等价问题。
• 非交换插值问题的可解性等价于存在一个正半定解 $ P $ 满足 Stein 方程 $ M^* P M - N^* P N = X^* X - Y^* Y $。
• 对于点求值数据，可解性条件简化为矩阵 $ \big[ \frac{b_i b_j^* - c_i c_j^*}{1 - \langle \lambda_i, \lambda_j \rangle} \big]_{i,j=1}^n $ 为正半定。
• 结果推广了已知的交换插值定理，包括 [39, 定理 4.1] 到非交换情形。