[论文解读] Interpreting, axiomatising and representing coherent choice functions in terms of desirability

Jasper De Bock, Gert de Cooman|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2019

Decision-Making and Behavioral Economics参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文在抽象向量空间中提出了一种基于偏好的一致性选择函数的解释，推导出一致性公理并证明了表示定理。结果表明，一致的选择模型可通过严格偏好序的集合来表示，而额外的公理则可导出基于字典序概率系统、一致下前概率或线性前概率的表示形式。

ABSTRACT

Choice functions constitute a simple, direct and very general mathematical framework for modelling choice under uncertainty. In particular, they are able to represent the set-valued choices that appear in imprecise-probabilistic decision making. We provide these choice functions with a clear interpretation in terms of desirability, use this interpretation to derive a set of basic coherence axioms, and show that this notion of coherence leads to a representation in terms of sets of strict preference orders. By imposing additional properties such as totality, the mixing property and Archimedeanity, we obtain representation in terms of sets of strict total orders, lexicographic probability systems, coherent lower previsions or linear previsions.

研究动机与目标

• 在抽象向量空间中提供一种清晰的基于偏好的选择函数解释，超越传统的概率模型。
• 基于偏好推导出一组理性（一致性）公理，确保选择行为的内在一致性。
• 建立表示定理，将一致的选择函数与严格偏好序集合、全序集合以及前概率联系起来。
• 探讨额外性质（如全序性、混合性与阿基米德性）对选择模型结构的影响。
• 通过最小化、公理化的方法统一并推广模糊概率与决策理论中的现有框架。

提出的方法

• 通过偏好解释选择函数：若某选项严格优于零，则其被视为可取的。
• 通过从偏好中导出的公理定义一致的选择函数，包括对某些运算的封闭性以及与偏好序的一致性。
• 利用选择函数与可取选项集合集合之间的对偶性，推导出等价表示形式。
• 应用拓扑论证（紧致性与逐点收敛）证明一致下前概率极限的存在性。
• 通过一致下前概率表示可取选项集合，利用对偶性刻画选择函数。
• 证明阿基米德性与混合性公理可导致在下前概率空间中形成闭合、紧致的表示形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于偏好解释选择函数，以确保理性且一致的行为？
• RQ2 刻画基于偏好的一致选择函数所需的最小公理集是什么？
• RQ3 额外性质（如全序性、混合性与阿基米德性）如何细化选择函数的表示形式？
• RQ4 每个一致的选择函数是否都能表示为更简单二元选择模型的交集？
• RQ5 表示给定选择函数的一致下前概率集合的拓扑与代数结构是什么？

主要发现

• 一致的选择函数可表示为从偏好导出的严格偏好序集合的交集。
• 加入混合性公理可确保表示在凸组合下封闭，从而导出一致下前概率的表示形式。
• 当施加全序性时，表示简化为严格全序的集合。
• 阿基米德性公理确保对每个选择集 A，存在某个 ε > 0，使得 A − ε 也被选择，从而防止出现无限偏好差距。
• 表示某一选择函数的所有一致下前概率构成一个在弱*拓扑下非空、闭合且紧致的集合。
• 当全序性与阿基米德性结合时，自然导出基于字典序概率系统的表示形式，从而扩展了经典决策模型。