[论文解读] Intersecting hypersurfaces and Lovelock Gravity

Steven Willison|ArXiv.org|Feb 22, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 86被引用 3

一句话总结

本文研究了洛瓦洛克引力中超曲面的相交，洛瓦洛克引力是广义相对论的高阶曲率推广。研究表明，具有度量一阶导数不连续的薄膜（即温和的曲率奇点）在经典框架下是允许的，从而实现了物质在相交处的局域化。这为弦论中的相交膜世界提供了经典类比，而这种特性在纯爱因斯坦-希尔伯特引力中并不存在。

ABSTRACT

A theory of gravity in higher dimensions is considered. The usual Einstein-Hilbert action is supplemented with Lovelock terms, of higher order in the curvature tensor. These terms are important for the low energy action of string theories. The intersection of hypersurfaces is studied in the Lovelock theory. The study is restricted to hypersurfaces of co-dimension 1, $(d-1)$-dimensional submanifolds in a $d$-dimensional space-time. It is found that exact thin shells of matter are admissible, with a mild form of curvature singularity: the first derivative of the metric is discontinuous across the surface. Also, with only this mild kind of curvature singularity, there is a possibility of matter localised on the intersections. This gives a classical analogue of the intersecting brane-worlds in high energy String phenomenology. Such a possibility does not arise in the pure Einstein-Hilbert case.

研究动机与目标

• 研究高维洛瓦洛克引力中相交超曲面的动力学，洛瓦洛克引力是带有高阶曲率项的爱因斯坦-希尔伯特引力的推广。
• 确定在洛瓦洛克理论中，特别是相交处，具有度量导数不连续的薄膜是否可以一致地嵌入。
• 探索在弦论的膜世界情景启发下，多个超曲面相交处是否存在物质局域化的可能性。
• 通过微分形式、同伦参数和维度延续的欧拉密度，建立几何与变分框架，以描述连接与相交。
• 确立此类相交处可支持一致的引力源而无强奇点，这与标准广义相对论不同。

提出的方法

• 使用正交标架和微分形式表述洛瓦洛克作用量，从而实现对曲率与联络的几何处理。
• 将变分原理应用于洛瓦洛克引力，通过边界项和诱导联络推导超曲面处的连接条件。
• 引入同伦参数和插值形式，以描述体积分与之间的过渡，并计算相交作用量。
• 利用维度延续的欧拉密度和不变多项式，定义相交处的拓扑不变量与曲率不变量。
• 通过对偶格点与链积分构建非单体相交框架，推广标准基于单纯形的方法。
• 利用外微分与曲率2-形式推导Bianchi恒等式，并证明同伦形式的闭合性，从而确保作用量的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在洛瓦洛克引力中，具有度量一阶导数不连续的薄膜是否可以一致地嵌入？
• RQ2 在洛瓦洛克引力中，超曲面的相交是否允许物质局域化，即使存在温和的曲率奇点？
• RQ3 洛瓦洛克引力中的连接条件与爱因斯坦-希尔伯特引力相比有何不同，特别是在非单体相交处？
• RQ4 维度延续的欧拉密度与同伦参数在构造相交处一致的作用项中起什么作用？
• RQ5 该形式化能否描述反 de Sitter 空间中碰撞的膜或三重相交，且具有有限且明确定义的缺陷角？

主要发现

• 在洛瓦洛克引力中，具有度量一阶导数不连续的精确薄膜是允许的，代表一种温和的曲率奇点形式。
• 相交作用量中不包含度量的二阶法向导数，表明尽管存在不连续性，理论仍保持良好定义。
• 由于与洛瓦洛克动力学一致的曲率奇点存在，物质可被局域化在多个超曲面的相交处。
• 由洛瓦洛克作用量导出的连接条件通过同伦参数与对偶格点的应用，允许非单体相交。
• 在反 de Sitter 空间中的三重相交中，解表现出有限的缺陷角并满足一致的能量守恒，证实了此类构型的稳定性。
• 维度延续的欧拉密度形式化确保了不同区域与相交处作用量的拓扑不变性与一致性。