[论文解读] Intersection cohomology of Drinfeld's compactifications

Alexander BRAVERMAN, D. Gaitsgory+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2000

Advanced Algebra and Geometry被引用 4

一句话总结

本文通过朗兰兹对偶李代数的组合学与扎斯塔瓦空间作为局部模型，提供了对曲线上的 $P$-丛模堆栈的德林费尔德紧化上交集上同调层的显式描述。关键结果将 IC 层识别为对称积上局部系统张量积的直接和，这些局部系统以余根格中的权为指标，其平移由抛物子群的度数决定。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth complete curve, $G$ be a reductive group and $P\subset G$ a parabolic. Following Drinfeld, one defines a compactification $\widetilde{\on{Bun}}_P$ of the moduli stack of $P$-bundles on $X$. The present paper is concerned with the explicit description of the Intersection Cohomology sheaf of $\widetilde{\on{Bun}}_P$. The description is given in terms of the combinatorics of the Langlands dual Lie algebra $\check{\mathfrak g}$.

研究动机与目标

• 提供德林费尔德紧化 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ 上交集上同调层的几何与表示论描述。
• 通过紧化堆栈构造校正的几何艾森斯坦系列函子，以解决朴素艾森斯坦系列函子的非紧性问题。
• 通过有限维模型（扎斯塔瓦空间）在 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ 的奇点与半无限旗丛之间建立联系。
• 以交集上同调的形式实现卢茨蒂格的组合模式，特别是通过周期性卡兹-卢斯蒂格多项式。

提出的方法

• 使用扎斯塔瓦空间 $Z^\mu$ 作为 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ 奇点的有限维局部模型，将其推广至任意抛物子群。
• 定义半群 $\mathbb{Z}_+\Theta$，即根 $\theta \in \Theta \subset \Lambda_{G,P}$ 的正组合，其中 $\Theta$ 索引朗兰兹对偶抛物子群的未幂零部分中的非零权空间。
• 通过与对偶勒维子群 $\check{M}$ 的表示相关的局部化层的张量积，在对称积 $X^{\mathfrak{P}(\theta)}$ 上构造层复形 $\mathcal{R}_{\mathfrak{P}(\theta)}(V)$。
• 利用正规化映射 $j_{P,\mathfrak{P}(\theta)}$ 将 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ 上的 IC 层与沿子簇 $^\mathfrak{P}(\theta)\overline{\operatorname{Bun}}_P$ 的这些局部系统的上推联系起来。
• 从开子簇开始，通过子簇上的归纳法，将总 IC 复形计算为所有 $\mathfrak{P}(\theta) \in \mathbb{Z}_+\Theta$ 的直接和，其平移量为 $2|\mathfrak{P}(\theta)|$。
• 利用 $\operatorname{Im}(e)[1]$ 在 $\check{\mathfrak{u}}(P)$ 上的主幂零元 $e$ 的自对偶性，确保所得到的层复形具有对偶性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用几何与表示论数据显式描述德林费尔德紧化 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ 上的交集上同调层？
• RQ2 校正的几何艾森斯坦系列函子与朴素函子之间的确切关系是什么？它在几何设定下如何与 $L$-函数关联？
• RQ3 扎斯塔瓦空间在多大程度上可作为 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ 奇点的局部模型？它们如何反映半无限旗丛的结构？
• RQ4 IC 层在 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ 上的纤维如何编码卢茨蒂格的周期性卡兹-卢斯蒂格多项式？
• RQ5 能否将 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ 上的 IC 层表示为对称积上层的上推的直接和，其系数为对偶勒维群表示？

主要发现

• 在 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ 上的交集上同调层同构于所有 $\mathfrak{P}(\theta) \in \mathbb{Z}_+\Theta$ 的上推 $ (j_{P,\mathfrak{P}(\theta)})_! $ 作用于层 $ \mathcal{R}_{\mathfrak{P}(\theta)}(\operatorname{Im} e) \boxtimes \operatorname{IC}(\overline{\operatorname{Bun}}_P) $ 的直接和，且整体平移量为 $ 2|\mathfrak{P}(\theta)| $。
• 在 $ X^{\mathfrak{P}(\theta)} $ 上的层 $ \mathcal{R}_{\mathfrak{P}(\theta)}(V) $ 构造为局部化层 $ \overline{\operatorname{Loc}}(V_{\theta_s})^{(n_s)} $ 的盒积，其中 $ V $ 是 $ \Theta $-适应的 $ \mathbb{Z} $-分次 $ \check{M} $-模。
• 在 $ \overline{\operatorname{Bun}}_P $ 上的复形 $ \mathfrak{Q} := \mathfrak{r}_! \operatorname{IC} $ 同构于所有 $ \theta \in \Lambda_{G,P}^{\text{pos}} $ 与 $ \mathfrak{P}(\theta) $ 的直接和，具有给定的上推结构。
• 在 $ X^{\mathfrak{P}(\theta)} $ 上的层 $ \mathcal{R}_{\mathfrak{P}(\theta)}(\operatorname{Im} e)[2|\mathfrak{P}(\theta)|] $ 是自对偶的，反映了在有限维向量空间范畴中 $ (\operatorname{Im} e)[1] $ 的自对偶性。
• 该构造通过从稠密开子簇开始的子簇归纳法证明，正规化映射 $ j_{P,\mathfrak{P}(\theta)} $ 为子簇 $ {}^{\mathfrak{P}(\theta)}\overline{\operatorname{Bun}}_P $ 提供了奇点的解析。
• 该结果在 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ 的几何与在单位根处的量子群表示理论之间建立了精确联系，通过 IC 层的分解实现。