[论文解读] Intersection cohomology of moduli spaces of vector bundles over curves

Sergey Mozgovoy, Markus Reineke|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文通过引入基于曲线的唐纳森-托马斯（DT）不变量，计算了亏格 $g \geq 2$ 的曲线上半稳定向量丛模空间 $M(r,d)$ 的交上同调，这些不变量可通过递归公式有效计算。关键结果建立了直接联系：$M(r,d)$ 的交上同调的霍奇-欧拉多项式等于 $\mathbb{L}^{\dim M(r,d)/2}$ 乘以 DT 不变量 $\mathrm{DT}_{r,d}$，从而实现了交上同调贝蒂数和霍奇多项式的显式计算。

ABSTRACT

We compute the intersection cohomology of the moduli spaces $M_{r,d}$ of semistable vector bundles having rank $r$ and degree $d$ over a curve. We do this by relating the Hodge-Deligne polynomial of the intersection cohomology of $M_{r,d}$ to the Donaldson-Thomas invariants of the curve. These invariants can be computed by methods going back to Harder, Narasimhan, Desale and Ramanan. More generally, we introduce Donaldson-Thomas classes in the Grothendieck group of mixed Hodge modules over $M_{r,d}$ and relate them to the class of the intersection complex of $M_{r,d}$. Our methods can be applied to the moduli spaces of semistable objects in arbitrary hereditary categories.

研究动机与目标

• 计算任意秩 $r$ 和次数 $d$ 的亏格 $g \geq 2$ 的曲线上半稳定向量丛模空间 $M(r,d)$ 的交上同调。
• 定义并计算曲线上凝聚层范畴的唐纳森-托马斯不变量，将 DT 理论推广至遗传范畴。
• 建立 $M(r,d)$ 的交上同调的霍奇-欧拉多项式与这些新 DT 不变量之间的精确关系。
• 将已知的互质 $r,d$ 情形结果推广至一般情形（即 $M(r,d)$ 为奇异的情形），使用混合霍奇模和动机不变量。

提出的方法

• 通过从 GIT 商数据 $R_{r,d}$ 和 $G_{r,d}$ 的霍奇-欧拉多项式导出的生成系列 $Q_\tau$ 的普莱斯蒂克对数，定义唐纳森-托马斯不变量 $\mathrm{DT}_{r,d}$。
• 利用虚拟小映射和虚拟交上同调复形，将商的上同调不变量与模空间的上同调不变量关联。
• 在 $M(r,d)$ 上的混合霍奇模的格罗滕迪克群中引入 DT 类，通过动机积分技术将其与交上同调复形联系起来。
• 应用 $\lambda$-环理论和混合霍奇模的导出范畴上的对称张量结构，管理不变量的代数结构。
• 利用哈德勒-纳拉西姆汉与西格尔型定理导出的递归公式计算生成系列 $Q_\tau$，再通过普莱斯蒂克对数将其转化为 $\mathrm{DT}_{r,d}$。
• 利用 $\mathrm{DT}_{r,d}$ 是 $\mathbb{L}^{\pm 1/2}$ 中的多项式且系数非负的事实，确保其具有几何意义。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $r$ 与 $d$ 不互质时，$M(r,d)$ 为奇异情形，如何计算其交上同调？
• RQ2 交上同调的霍奇-欧拉多项式与贝蒂数或动机等已知不变量之间的确切关系是什么？
• RQ3 尽管缺乏卡拉比-丘三fold 结构，唐纳森-托马斯不变量是否可在曲线背景下有效定义与计算？
• RQ4 新 DT 不变量与经典的哈德勒-纳拉西姆汉、德萨莱-拉马南及阿蒂亚-博特递归公式之间有何关系？
• RQ5 能否从 GIT 商 $R_{r,d} \mathbin{\mkern-10mu}\mathop{\mathrm{/\negmedspace/}} G_{r,d}$ 的动机或霍奇理论不变量中恢复 $M(r,d)$ 的交上同调？

主要发现

• 交上同调的霍奇-欧拉多项式为 $E(\mathrm{IH}^*(M(r,d))) = \mathbb{L}^{\dim M(r,d)/2} \cdot \mathrm{DT}_{r,d}$，为计算交上同调贝蒂数提供了直接的计算桥梁。
• 对于 $g=2$ 时的 $M(2,0)$，庞加莱多项式为 $1 + 4y + 7y^2 + 8y^3 + 8y^4 + 8y^5 + \cdots$，与基尔曼的结果一致，验证了方法的有效性。
• 对于 $g=2$ 时的 $M(3,1)$，庞加莱多项式为 $\frac{1}{(1-y^2)(1-y^4)^2(1-y^6)} \left( (1-y)^{2g}(1-y^3)^{2g}(1-y^5)^{2g} - y^{4g-2}(1+y^2)^2(1-y)^{4g}(1-y^3)^{2g} + y^{6g-2}(1+y^2+y^4)(1-y)^{6g} \right)$，已显式计算。
• 对于 $g=2$ 时的 $M(4,0)$，庞加莱多项式为包含至 $y^{12}$ 项的复杂有理函数表达式，且前 $i=14$ 项的贝蒂数为 $1,4,7,12,26,48,77,120,181,256,331,392,435,464,486,500,504,504$，证实了庞加莱对偶性。
• $g=2$ 时 $M(4,1)$ 的第 $i$ 项贝蒂数为 $1,4,7,12,26,48,78,128,211,328,476,680,963,1292,1621,1948,2249,2384$，表明该方法可计算高维不变量。
• 庞加莱多项式中出现因子 $(1-y)^{2g}$，对应于固定行列式的情形，该因子在 $g=2$ 和 $g=3$ 时被显式提取并列出。