[论文解读] Intersection cohomology on nonrational polytopes

Paul Bressler, Valery A. Lunts|ArXiv.org|Feb 1, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 18

一句话总结

本文提出了一种基于多项式环上分次模的层论框架，用于定义任意凸多面体的交线上同调，即使在相关 toric 空间不存在（非有理情形）时亦可适用。通过在多面体的扇形上构造一个极小层，并证明其 Verdier 对偶性与细分下的分解定理，作者们建立该同调满足 Poincaré 对偶性，并推测其满足强 Lefschetz 性质，从而在无有理性假设下推出 Stanley 关于 h-向量的非负性与单峰性猜想。

ABSTRACT

Viewing a fan as a partially ordered set (of cones) we consider a category of sheaves on the fan which corresponds to a category of equivariant sheaves on the corresponding toric variety if the fan is rational. In this category we define an object which corresponds to the equivariant intersection cohomology complex. Our first main result is the ``elementary'' decomposition theorem for the direct image under subdivision of fans We also develop the Borel-Moore- Verdier duality in the derived category of sheaves on the fan.

研究动机与目标

• 为无有理性的凸多面体定义交线上同调，此时其对应的 toric 空间不存在。
• 为一般多面体的 h-向量建立 Poincaré 对偶性与强 Lefschetz 性质。
• 通过扇形与分次层提供一个模拟 toric 空间等变几何的组合框架。
• 证明所得同调是多面体面格的组合不变量。
• 利用所提出的层论方法，给出 Kalai 关于 g-向量不等式猜想的新证明。

提出的方法

• 将扇形 Φ 定义为带有结构层 AΦ（在锥上取多项式函数）的环化空间。
• 引入 M(AΦ) 类别，即满足平坦性、局部自由性与分次性的 AΦ-模，以模拟等变层。
• 在 Φ 上构造一个极小层 LΦ，若 toric 空间存在，则其对应于 T-等变交线上同调复形。
• 证明在扇形细分下，LΦ 的直接像满足分解定理，推广了等变分解定理。
• 在 AΦ-模的导出范畴中发展 Borel-Moore-Verdier 对偶性，并证明 LΦ 同构于其 Verdier 对偶。
• 将交线上同调 IH(Φ) 定义为与 LΦ 关联的分次向量空间，并通过次数为 2 的 Lefschetz 算子 l 研究其性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无有理性假设下，一般凸多面体的 h-向量是否仍满足 Stanley 所猜想的非负性与单峰性？
• RQ2 是否存在一个明确定义的非有理多面体交线上同调理论，使其满足 Poincaré 对偶性？
• RQ3 对于一般多面体关联的扇形，强 Lefschetz 猜想是否成立？
• RQ4 能否通过层论方法在无几何假设下组合性地证明 Kalai 的 g-向量不等式？
• RQ5 扇形的交线上同调是否为仅依赖于多面体面格的组合不变量？

主要发现

• 扇形 Φ 的交线上同调 IH(Φ) 是有限维的，且在奇数度上为零，且满足 dim IH0(Φ) = dim IH2n(Φ) = 1。
• IH(Φ) 满足 Poincaré 对偶性：对所有 i，有 ih_{n−i}(Φ) = ih_{n+i}(Φ)。
• 强 Lefschetz 猜想预测：对所有 i ≥ 1，映射 l^i: IH^{n−i}(Φ) → IH^{n+i}(Φ) 是同构。
• 若强 Lefschetz 猜想成立，则多面体的 h-向量满足 h_0 ≤ h_1 ≤ ⋯ ≤ h_{[d/2]} 且 h_i = h_{d−i}。
• 对任意面 τ ⊂ σ，锥 σ 的 Poincaré 多项式 ip(σ) 满足系数意义上的不等式 ip(σ) ≥ ip(τ) · ip(Star(τ))。
• 该构造为 Kalai 关于 g-向量不等式猜想提供了新证明，且对所有多面体均成立，无需有理性假设。