[论文解读] Intersection Cuts for Nonlinear Integer Programming: Convexification Techniques for Structured Sets

Sina Modaresi, Mustafa R. Kılınç+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2013

Advanced Optimization Algorithms Research被引用 6

一句话总结

本文通过为结构化的非多面体集合开发凸化技术，将混合整数线性规划中的分拆割、k-分支分拆割和交集割推广至非线性整数规划。提出了两种几何技术——插值与聚合，为由单个二次不等式定义的集合提供了闭式、投影式且保持类别的凸包表征，从而为锥型和二次型集合生成强有效不等式。

ABSTRACT

We study the generalization of split, k-branch split, and intersection cuts from Mixed Integer Linear Programming to the realm of Mixed Integer Nonlinear Programming. Constructing such cuts requires calculating the convex hull of the difference between a convex set and an open set with a simple geometric structure. We introduce two techniques to give precise characterizations of such convex hulls and use them to construct split, k-branch split, and intersection cuts for several classes of non-polyhedral sets. In particular, we give simple formulas for split cuts for essentially all convex sets described by a single quadratic inequality. We also give simple formulas for k-branch split cuts and some general intersection cuts for a wide variety of convex quadratic sets.

研究动机与目标

• 解决将强割平面从MILP推广至MINLP的挑战，其中非多面体、非凸集合的凸包难以表征。
• 通过在原始空间中寻求投影式且保持类别的凸包描述，克服提升表示（如SDP）的局限性。
• 开发实用的闭式方法，为非线性集合生成分拆割、k-分支分拆割和交集割，而无需依赖复杂的代数几何。
• 提供一个系统框架，利用几何对称性和仿射不变性，为由单个锥型或二次不等式定义的凸集构造强割。
• 证明欧氏范数的对称性使得可在一大类与信赖域和格点问题相关的二次型集合中实现可推广的割线构造。

提出的方法

• 引入一种插值技术，用于表征凸集与半空间差集的凸包，从而实现分拆割与k-分支分拆割的生成。
• 采用受MIR割启发的两步程序：首先在R²中利用两个简单凸集构造基本标准割，然后通过仿射变换推广至高维。
• 将插值方法应用于锥型二次集合，利用欧氏范数结构和线性约束，推导出分拆割的闭式表达式。
• 引入一种聚合技术，通过凸组合与几何约束组合多条割线，以构造一般交集割。
• 利用朋友条件与插值条件验证凸包表征，确保所得割线的有效性与强度。
• 利用几何性质，如范数的对称性与锥型集合顶点位置，推导出无需代数复杂性的割线有效性的必要与充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于由单个二次不等式定义的非线性集合，能否在不使用提升或高维表示的情况下，以闭式表征分拆割？
• RQ2 集合的哪些几何与代数性质使得能够为交集割构造投影式且保持类别的凸包描述？
• RQ3 受MIR启发的两步程序——标准割后接仿射变换——在多大程度上可推广至非线性集合？
• RQ4 如何利用插值与聚合技术精确表征凸集与半空间差集的凸包？
• RQ5 欧氏范数的对称性在实现一大类二次型集合的可推广割线构造中起到何种作用？

主要发现

• 本文为几乎所有由单个锥型二次不等式定义的凸集，提供了简单闭式分拆割公式。
• 通过利用欧氏范数的对称性，推导出广泛各类凸二次集合的k-分支分拆割与一般交集割的显式公式。
• 插值技术实现了对锥型二次集合的精确、投影式且保持类别的凸包表征，避免了使用半定规划提升。
• 聚合技术通过几何约束与凸组合组合多条割线，实现了广泛类别的通用交集割的构造。
• 对于由单个二次不等式定义的集合，在较弱条件下，其与半空间差集的凸包可由单个锥型二次约束表示。
• 研究结果表明，实现割线构造的关键代数性质是欧氏范数的对称性，而非集合的完整代数结构。