[论文解读] Intersection numbers on $\overline {\mathcal M}_{g,n}$ and BKP hierarchy

A. Alexandrov|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2020

Polynomial and algebraic computation参考文献 34被引用 11

一句话总结

本文提出了一种关于稳定曲线模空间 $\bar{\frak M}_{g,n}$ 上的交点数与 BKP 可积系统之间的新颖联系。它猜想，拓扑重力与枚举几何中的关键对象——Kontsevich–Witten 和 Brézin–Gross–Witten 的 tau 函数——可通过时间变量的简单重标度，以 Schur Q 函数展开的形式表示为 BKP 层次的超几何解，揭示了 KdV 与 BKP 可积系统之间通过时间变量重标度所建立的惊人联系。

ABSTRACT

In their recent inspiring paper Mironov and Morozov claim a surprisingly simple expansion formula for the Kontsevich-Witten tau-function in terms of the Schur Q-functions. Here we provide a similar conjecture for the Brézin-Gross-Witten tau-function. Moreover, we identify both tau-functions of the KdV hierarchy, which describe intersection numbers on the moduli spaces of punctured Riemann surfaces, with the hypergeometric solutions of the BKP hierarchy.

研究动机与目标

• 建立 $\bar{\frak M}_{g,n}$ 上的交点数与 BKP 可积层次之间的新联系。
• 猜想：Kontsevich–Witten 与 Brézin–Gross–Witten 的 tau 函数，作为 KdV 层次的解，在时间变量经过重标度后，也满足 BKP 层次。
• 为两个 tau 函数提供显式的 Schur Q 函数展开式，其系数具有简洁的组合结构。
• 将这些 tau 函数识别为 BKP 层次的超几何解，从而将其与自旋 Hurwitz 数及两分量 BKP 结构联系起来。
• 探讨该识别在几何与代数上的含义，特别是关于 Sato Grassmannian 与模空间交点理论的含义。

提出的方法

• 提出 Brézin–Gross–Witten (BGW) tau 函数的猜想性 Schur Q 函数展开式：$\tau_{BGW} = \textstyle\bigsum_{\text{DP}} \big(\frac{\bar\tau}{16}\big)^{| u|} \frac{Q_\nu({\bf t}) Q_\nu(\boldsymbol{\nu}_{k,1})^3}{Q_{2\nu}(\boldsymbol{\nu}_{k,1})^2}$，其中 DP 表示严格分拆。
• 为 Kontsevich–Witten (KW) tau 函数提出类似的展开式：$\tau_{KW} = \textstyle\bigsum_{\text{DP}} \big(\frac{\bar\tau}{16}\big)^{| u|/3} \frac{Q_\nu({\bf t}) Q_\nu(\boldsymbol{\nu}_{k,1}) Q_{2\nu}(\boldsymbol{\nu}_{k,3}/3)}{Q_{2\nu}(\boldsymbol{\nu}_{k,1})}$。
• 将重标度后的版本 $\tau_{KW}({\bf t}/2)$ 与 $\tau_{BGW}({\bf t}/2, N)$ 识别为 BKP 层次的超几何解，使用通式 $r_\nu = \text{exp}\big(\textstyle\bigsum_{j=1}^{\text{len}(\nu)} \tilde{\rho}(\nu_j)\big)$。
• 推导 BKP 层次中生成函数 $r(z)$ 的显式表达式：BGW 情况下为 $r(z) = \bar\tau \frac{(2z-1)^2 - 4N^2}{16}$，KW 情况下则为涉及 $\bar\tau$、$\beta$ 与 $A_k$ 的更复杂表达式。
• 利用 BKP 层次在时间平移下的对称性，证明将 Miller–Morita–Mumford 类 $\boldsymbol{\nu}_k$ 插入对应于 BKP 时间的平移，从而保持 tau 函数结构不变。
• 通过 John Stembridge 的 SF 与 QF Maple 工具包进行计算验证，将猜想在微扰论范围内确认至 $|\nu| \to 39$。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kontsevich–Witten 与 Brézin–Gross–Witten 的 tau 函数，作为 KdV 层次的解，是否在时间变量经过适当重标度后，也能成为 BKP 层次的解？
• RQ2 BGW tau 函数的精确 Schur Q 函数展开式是什么？其与最近提出的 Mironov–Morozov 公式在 KW tau 函数中的形式相比有何异同？
• RQ3 在 BKP 层次框架下，是否存在 KW 与 BGW tau 函数的统一超几何描述？其对应的 $r$-函数与 $t^*$-时间为何？
• RQ4 将 $\boldsymbol{\nu}_k$ 类（Miller–Morita–Mumford 类）插入生成函数会对 BKP 结构产生何种影响？
• RQ5 在自旋 Hurwitz 数与两分量 BKP 层次的语境下，$\bar{\frak M}_{g,n}$ 上的交点理论具有何种几何解释？

主要发现

• BGW tau 函数可展开为 Schur Q 函数形式，其系数包含 $Q_\nu(\boldsymbol{\nu}_{k,1})^3 / Q_{2\nu}(\boldsymbol{\nu}_{k,1})^2$，暗示其具有深刻的组合结构。
• KW tau 函数同样可展开为 Q 函数形式，其系数为 $\big(\frac{\bar\tau}{16}\big)^{| u|/3} \frac{Q_\nu(\boldsymbol{\nu}_{k,1}) Q_{2\nu}(\boldsymbol{\nu}_{k,3}/3)}{Q_{2\nu}(\boldsymbol{\nu}_{k,1})}$，并猜想该形式等价于 BKP 层次的超几何解。
• 在时间变量重标度 $1/2$ 后，$\tau_{KW}({\bf t}/2)$ 与 $\tau_{BGW}({\bf t}/2, N)$ 均被猜想为 BKP 层次的超几何解，其对应的 $r$-函数为：BGW 情况下 $r(z) = \bar\tau \frac{(2z-1)^2 - 4N^2}{16}$。
• 对于 KW 情况，$r$-函数由依赖于 $k \bmod 3$ 的分段指数函数 $\tilde{\rho}_{KW}(k)$ 定义，其中 $e^{\tilde{\rho}_{KW}(3k)} = \bar\tau^k A_k$，$e^{\tilde{\rho}_{KW}(3k-1)} = -\bar\tau^{k-1/3} \frac{2}{(6k-1)\beta} A_k$，$e^{\tilde{\rho}_{KW}(3k-2)} = \bar\tau^{k-2/3} \frac{8\beta}{6k-1} A_k$。
• 通过 Maple 工具包 SF 与 QF 的计算验证，猜想在微扰论范围内已确认至 $|\nu| = 39$，支持其在低次幂下的有效性。
• 将 $\boldsymbol{\nu}_k$ 类插入生成函数 $\tau_{GWP}^\theta$ 会导出 BKP tau 函数，且对标准的 Gromov–Witten–Petersson 生成函数 $\tau_{GWP}$ 同样成立，表明模空间交点理论中存在更广泛的 BKP 结构。