[论文解读] Intersection pairing for arithmetic cycles with degenerate Green currents

Atsushi Moriwaki|ArXiv.org|Mar 13, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文为正则射影算术簇上的一度数循环引入了扩展的算术 Chow 群，纳入了退化的 Green 上同调。在该框架下建立了 Hodge 指数定理，并证明了秩 2 向量丛的 Bogomolov 不稳定性定理的算术类比，为具有奇异 Green 上同调的算术交点理论提供了基础框架。

ABSTRACT

In this note, we would like to propose a suitable extension of the arithmetic Chow group of codimension one, in which the Hodge index theorem holds. We also prove an arithmetic analogue of Bogomolov's instability theorem for rank 2 vector bundles on arbitrary regular projective arithmetic varieties.

研究动机与目标

• 将一维度数循环的算术 Chow 群扩展至包含退化 Green 上同调。
• 确保在扩展框架下 Hodge 指数定理依然成立。
• 在正则射影算术簇上，为秩 2 向量丛建立 Bogomolov 不稳定性定理的算术类比。
• 在存在退化 Green 上同调的情况下，提供一致的交点配对。

提出的方法

• 通过允许退化 Green 上同调（在光滑性或严格正性意义上为奇异）来扩展算术 Chow 群。
• 运用算术曲面和高维算术簇上的 Green 上同调与算术交点理论。
• 即使 Green 上同调退化，也通过使用 Green 上同调来应用算术交点数理论。
• 采用算术 Riemann-Roch 定理及算术设定下第一陈类的性质。
• 引入一种精细化的交点配对，以考虑 Green 上同调的退化性。
• 依赖于正则射影算术概形的结构以及具有奇异度量的线丛的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在保持 Hodge 指数定理等关键定理的前提下，将算术 Chow 群扩展至包含具有退化 Green 上同调的循环？
• RQ2 在正则射影算术簇上，秩 2 向量丛的 Bogomolov 不稳定性定理是否存在算术类比？
• RQ3 当 Green 上同调退化或奇异时，如何一致地定义交点配对？
• RQ4 退化 Green 上同调在算术 Riemann-Roch 公式与算术交点理论中起什么作用？
• RQ5 Hodge 指数定理能否推广至具有非光滑或退化 Green 上同调的算术循环？

主要发现

• 即使在存在退化 Green 上同调的情况下，一维度数循环的扩展算术 Chow 群仍支持明确定义的交点配对。
• Hodge 指数定理在扩展算术 Chow 群中成立，确保了算术交点数的正性和符号约束。
• 在正则射影算术簇上，为秩 2 向量丛证明了 Bogomolov 不稳定性定理的算术类比。
• 该构造为在存在奇异或退化 Green 上同调的情况下提供了算术交点理论的一致框架。
• 本文确立了 Green 上同调的退化性不会阻碍算术对偶性与指标定理的基本有效性。
• 结果适用于任意正则射影算术簇，不限于曲面或特定基概形。