[论文解读] Intersection theorems for $\{0,\pm 1\}$-vectors and $s$-cross-intersecting families

Péter Frankl, Andrey Kupavskii|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 17被引用 7

一句话总结

该论文将Erdős-Ko-Rado定理推广至两个新场景：第一，针对具有固定ℓ²范数且两两点积有界的{0,±1}-向量族，确定在n较大时的最大大小；第二，针对s-交叉相交、t-相交的k-集合族，证明|𝒜| + |ℬ|的最大和由基于[k]上极大t-相交族的显式构造实现，极值族通过完全相交定理得以刻画。结果将经典交集定理推广至向量与交叉相交设定，并给出精确的渐近界。

ABSTRACT

In this paper we study two directions of extending the classical Erd\H os-Ko-Rado theorem which states that any family of $k$-element subsets of the set $[n] = \{1,\ldots,n\}$ in which any two sets intersect, has cardinality at most ${n-1\choose k-1}$. In the first part of the paper we study the families of $\{0,\pm 1\}$-vectors. Denote by $\mathcal L_k$ the family of all vectors $\mathbf v$ from $\{0,\pm 1\}^n$ such that $\langle\mathbf v,\mathbf v angle = k$. For any $k$, most $l$ and sufficiently large $n$ we determine the maximal size of the family $\mathcal V\subset \mathcal L_k$ such that for any $\mathbf v,\mathbf w\in \mathcal V$ we have $\langle \mathbf v,\mathbf w angle\ge l$. We find some exact values of this function for all $n$ for small values of $k$. In the second part of the paper we study cross-intersecting pairs of families. We say that two families are $\mathcal A, \mathcal B$ are extit{$s$-cross-intersecting}, if for any $A\in\mathcal A,B\in \mathcal B$ we have $|A\cap B|\ge s$. We also say that a set family $\mathcal A$ is {\it $t$-intersecting}, if for any $A_1,A_2\in \mathcal A$ we have $|A_1\cap A_2|\ge t$. For a pair of nonempty $s$-cross-intersecting $t$-intersecting families $\mathcal A,\mathcal B$ of $k$-sets, we determine the maximal value of $|\mathcal A|+|\mathcal B|$ for $n$ sufficiently large.

研究动机与目标

• 确定在固定k和l下，{0,±1}-向量族𝒱 ⊂ ℒ_k中两两点积至少为l时的最大大小。
• 刻画s-交叉相交、t-相交的k-集合族，使|𝒜| + |ℬ|在交集约束下最大化。
• 将经典极值集合论结果——Erdős-Ko-Rado定理与完全相交定理——推广至具有内积约束的向量族与交叉相交对。
• 利用结构与组合技术（包括完全相交定理与双重计数）为大n建立紧致的渐近界。

提出的方法

• 定义ℒ_k为长度为n、恰好有k个非零项（ℓ²范数为k）的{0,±1}-向量集合，研究满足对所有v,w ∈ 𝒱有⟨v,w⟩ ≥ l的族。
• 利用完全相交定理界定s元集族中两两交集至少为t的族的大小，这是分析交叉相交对的关键。
• 应用双重计数与极值集合论技术，界定s-交叉相交、t-相交的k-集合族的|𝒜| + |ℬ|。
• 通过在[k]上固定一个极大t-相交族𝒥，构造极值族：令𝒜为所有满足其与[k]的交集属于𝒥的k-集合。
• 证明任意极值对(𝒜,ℬ)必须包含于此类构造中，利用关于交集大小与度数的界限。
• 利用完全相交定理的唯一性性质，表明仅特定族𝒜_i(k,s,t)可达到最大大小。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于大n与固定k,l，具有固定ℓ²范数k且两两点积至少为l的{0,±1}-向量族的最大大小为何？
• RQ2 对于s-交叉相交、t-相交的k-集合族，|𝒜| + |ℬ|的最大可能值是多少？哪些族可实现该值？
• RQ3 经典Erdős-Ko-Rado定理与完全相交定理能否推广至具有内积约束的{0,±1}-向量族？
• RQ4 s-交叉相交、t-相交的k-集合族的极值族如何与[k]上极大t-相交族的结构相关联？
• RQ5 极值构造是否唯一？在何种条件下其与已知族𝒜_i(k,s,t)重合？

主要发现

• 当k ≤ n ≤ s²时，ℒ_k中两两点积至少为l的{0,±1}-向量族的最大大小为s·(n−1 choose k−1)，当l = 1时可达到。
• 当n > s²时，最大大小增长为二项式系数之和：s·(s²−1 choose s) + (s² choose s) + ... + (n−1 choose s)，在相同内积约束下。
• 对于s-交叉相交、t-相交的k-集合族，|𝒜| + |ℬ|的最大和渐近由基于[k]上极大t-相交族的构造实现，大小为m(k,s,t)·(n−k choose k−s)。
• 极值族被唯一刻画：𝒜必须包含于某个i ≤ s−t的𝒜_i(k,s,t)中，ℬ包含于ℬ_i(k,s,t)中，且仅当𝒥 = 𝒜_i(k,s,t)（i < s−t或i = s−t）时取等。
• 当m(k,s,t)仅由𝒜_{s−t}(k,s,t)实现时，极值对为𝒜 = 𝒜_{s−t}，ℬ = ℬ_{s−t}，且唯一性成立，除非n = 2k且s = 1。
• 结果证实极值构造为最优，且在给定交集与交叉交集约束下不存在更大的族。