[论文解读] Intersection Theory in Differential Algebraic Geometry: Generic Intersections and the Differential Chow Form

Xiao-Shan Gao, Wěi Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2010

Polynomial and algebraic computation参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文建立了通用微分多项式上的交点理论，证明了维数为 $d$、阶数为 $h$ 的不可约微分代数簇与阶数为 $s$ 的通用微分超曲面的交点，得到一个维数为 $d-1$、阶数为 $h+s$ 的代数簇。该结果解决了通用系统下的微分维数猜想，并引入了微分 Chow 形式与广义微分结式，将关键的代数概念推广至微分代数几何，具有类似性质。

ABSTRACT

In this paper, an intersection theory for generic differential polynomials is presented. The intersection of an irreducible differential variety of dimension $d$ and order $h$ with a generic differential hypersurface of order $s$ is shown to be an irreducible variety of dimension $d-1$ and order $h+s$. As a consequence, the dimension conjecture for generic differential polynomials is proved. Based on the intersection theory, the Chow form for an irreducible differential variety is defined and most of the properties of the Chow form in the algebraic case are established for its differential counterpart. Furthermore, the generalized differential Chow form is defined and its properties are proved. As an application of the generalized differential Chow form, the differential resultant of $n+1$ generic differential polynomials in $n$ variables is defined and properties similar to that of the Macaulay resultant for multivariate polynomials are proved.

研究动机与目标

• 通过分析与通用超曲面的交点，解决通用微分多项式下的微分维数猜想。
• 定义微分 Chow 形式，并建立其性质，作为代数 Chow 形式的微分类比。
• 引入广义微分 Chow 形式，并利用其严格定义微分结式。
• 将 Macaulay 结式的性质推广至微分情形，包括齐次性与零点条件。
• 通过 Chow 形式与拟簇，为消去理论与射影微分代数几何奠定基础。

提出的方法

• 将通用微分多项式定义为所有次数与阶数不超过给定值的单项式构成，其系数为微分不定元。
• 证明通用维数定理：维数为 $d$、阶数为 $h$ 的素微分理想与阶数为 $s$ 的通用多项式的交点，生成一个维数为 $d-1$、阶数为 $h+s$ 的素理想。
• 将微分 Chow 形式定义为编码该代数簇的 $ abla$-齐次 $ abla$-多项式，具有显式的阶数与因式分解性质。
• 建立微分 Chow 拟簇作为循环的参数空间，推广代数 Chow 变换。
• 为 $n+1$ 个变量中 $n$ 个变量的微分多项式组引入广义微分 Chow 形式。
• 将微分结式定义为一个 $ abla$-多项式，其在系统存在公共解时且仅在该情况下为零，其性质与 Macaulay 结式类似。

实验结果

研究问题

• RQ1 不可约微分代数簇与通用微分超曲面的交点的维数与阶数为何？
• RQ2 能否通过交点理论证明通用微分多项式下的微分维数猜想？
• RQ3 代数 Chow 形式如何推广至微分代数几何？其保留了哪些性质？
• RQ4 对于 $n+1$ 个微分多项式在 $n$ 个变量中的情形，微分结式的结构与行为如何？
• RQ5 微分结式能否通过矩阵表示或类似代数情形的 Poisson 型公式表征？

主要发现

• 不可约微分代数簇（维数 $d$，阶数 $h$）与阶数为 $s$ 的通用微分超曲面的交点，结果为维数 $d-1$、阶数 $h+s$ 的代数簇，从而证明了通用系统下的微分维数猜想。
• 微分 Chow 形式是一个 $ abla$-齐次 $ abla$-多项式，可编码代数簇，并具有与代数 Chow 形式类似的性质，包括阶数与因式分解约束。
• 广义微分 Chow 形式为 $n+1$ 个变量中 $n$ 个变量的微分多项式组所定义，使微分结式的严格定义成为可能。
• 微分结式是一个 $ abla$-多项式，当且仅当系统存在公共解时为零，其齐次度与代数情形一致。
• 在 $n=1$，$d_0=d_1=2$，$s_0=0$，$s_1=1$ 的情形下，微分结式包含 206 项，${f u}_0$ 阶数为 1，${f u}_1$ 阶数为 0，且关于 ${f u}_0$ 为 8 次齐次，关于 ${f u}_1$ 为 2 次齐次。
• 微分结式可表示为系数矩阵行列式的因子，类似于 Macaulay 结式的矩阵表示。