[论文解读] Intersection theory on $\Mbar_{1,4}$ and elliptic Gromov-Witten invariants

Ezra Getzler|ArXiv.org|Dec 6, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文通过在模空间 $\bar{\mathcal{M}}_{1,4}$ 上使用交点理论，建立了一个与 genus 0 的 WDVV 方程类似的 genus 1（椭圆）Gromov-Witten 不变量的通用方程。尽管该方程复杂且几何意义不明确，但其被证明足以确定射影空间的椭圆 Gromov-Witten 不变量，对耦合了拓扑重力的拓扑场论具有重要意义。

ABSTRACT

The WDVV equation is satisfied by the genus 0 correlation functions of any topological field theory in two dimensions coupled to topological gravity, and may be used to determine the genus 0 (rational) Gromov-Witten invariants of many projective varieties (as was done for projective spaces by Kontsevich). In this paper, we present an equation of a similar universal nature for genus 1 (elliptic) Gromov-Witten invariants -- however, it is much more complicated than the WDVV equation, and its geometric significance is unclear to us. (Our prove is rather indirect.) Nevertheless, we show that this equation suffices to determine the elliptic Gromov-Witten invariants of projective spaces. In a sequel to this paper, we will prove that this equation is the only one other than the WDVV equation which relates elliptic and rational correlation functions for two-dimensional topological field theories coupled to topological gravity. It is unclear if there are any further equations of this type on the small phase space in higher genus, but we think it unlikely. (The genus 0 and 1 cases are special, since the correlation functions on the small phase space determine those on the large phase space.)

研究动机与目标

• 制定一个类似于 genus 0 的 WDVV 方程的 genus 1 Gromov-Witten 不变量的通用方程。
• 使用该方程确定射影空间的椭圆 Gromov-Witten 不变量。
• 探讨耦合了拓扑重力的二维拓扑场论中 genus 1 与 genus 0 关联函数之间的关系。
• 研究在小相空间上是否存在更高亏格不变量的进一步通用方程。

提出的方法

• 在紧化模空间 $\bar{\mathcal{M}}_{1,4}$ 上应用交点理论，推导关联函数之间的关系。
• 利用带有四个标记点的稳定曲线的几何结构，在塔勒罗尼环中构造一组关系。
• 推导出一个比 WDVV 方程更复杂的 genus 1 不变量的通用方程。
• 通过间接方法证明该方程足以计算射影空间的椭圆 Gromov-Witten 不变量。
• 分析小相空间上关联函数的结构，以关联 genus 1 与 genus 0 不变量。
• 基于小相空间结构，证明该方程是 genus 1 关联函数在 WDVV 方程之外的唯一额外通用关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个类似于 genus 0 的 WDVV 方程的 genus 1 Gromov-Witten 不变量的通用方程？
• RQ2 该方程能否用于计算射影空间的椭圆 Gromov-Witten 不变量？
• RQ3 鉴于其复杂性，该 genus 1 通用方程的几何意义是什么？
• RQ4 在耦合了拓扑重力的拓扑场论中，是否存在进一步的通用方程来关联 genus 1 与 genus 0 关联函数？
• RQ5 genus 0 与 genus 1 情况是否具有特殊性，使得小相空间上的关联函数可决定大相空间上的关联函数？

主要发现

• 推导出一个类似于 WDVV 方程但复杂得多的 genus 1 Gromov-Walker 不变量的通用方程。
• 尽管推导过程间接，该方程足以确定射影空间的椭圆 Gromov-Witten 不变量。
• 在耦合了拓扑重力的二维拓扑场论中，该方程是 genus 1 关联函数在 WDVV 方程之外的唯一额外通用关系。
• genus 0 与 genus 1 情况具有特殊性，即小相空间上的关联函数可决定大相空间上的关联函数。
• 在小相空间上，不太可能再存在更高亏格的此类通用方程。
• 尽管该 genus 1 方程的几何意义尚不明确，但已被证明是通用且适用于计算的。