[论文解读] Intersection Theory on Toric Varieties

William Fulton, Bernd Sturmfels|ArXiv.org|Mar 1, 1994

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文建立了完全 торических概形上的操作性查尔斯上同调类与相应扇形上的闵可夫斯基权之间的精确对应关系。它表明查尔斯上同调类的乘积对应于一个格点平移操作，并证明在有理系数下，查尔斯环可嵌入麦克马伦的多面体代数中，后者是固定环面的所有紧化形式的直极限。

ABSTRACT

The operational Chow cohomology classes of a complete toric variety are identified with certain functions, called Minkowski weights, on the corresponding fan. The natural product of Chow cohomology classes makes the Minkowski weights into a commutative ring; the product is computed by a displacement in the lattice, which corresponds to a deformation in the toric variety. We show that, with rational coefficients, this ring embeds in McMullen's polytope algebra, and that the polytope algebra is the direct limit of these Chow rings, over all compactifications of a given torus. In the nonsingular case, the Minkowski weight corresponding to the Todd class is related to a certain Ehrhart polynomial.

研究动机与目标

• 在完全toric概形的扇形上，建立操作性查尔斯上同调类与闵可夫斯基权之间的典范同构。
• 通过闵可夫斯基权上的格点平移操作，刻画查尔斯上同调上的自然乘积结构。
• 证明在有理系数下，toric概形的查尔斯环可嵌入麦克马伦的多面体代数中。
• 证明多面体代数是固定环面的所有紧化形式的查尔斯环的直极限。
• 在非奇异情形下，将Todd类对应的闵可夫斯基权与一个多面体的Ehrhart多项式联系起来。

提出的方法

• 将完全toric概形的操作性查尔斯上同调类识别为扇形锥上的函数（即闵可夫斯基权）。
• 通过格点上的位移定义查尔斯上同调类的乘积，该操作在几何上对应于toric概形中的形变。
• 利用扇形的结构和环面作用，将闵可夫斯基权的乘积定义为格点上的组合运算。
• 构造从查尔斯环（带有一般有理系数）到麦克马伦多面体代数的环同态。
• 利用直极限的普遍性质，证明多面体代数是所有固定环面的紧化形式的查尔斯环的直极限。
• 在非奇异情形下，通过生成函数将Todd类的闵可夫斯基权与多面体的Ehrhart多项式关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何组合地描述完全toric概形上的操作性查尔斯上同调类？
• RQ2 在toric概形中，查尔斯上同调的乘积结构在几何与组合上的解释是什么？
• RQ3 toric概形的查尔斯环与麦克马伦的多面体代数有何关系？
• RQ4 在非奇异toric概形的查尔斯上同调中，Todd类的作用是什么？它与Ehrhart理论有何关联？
• RQ5 多面体代数能否被实现为固定环面的所有toric紧化形式的查尔斯环的直极限？

主要发现

• 完全toric概形上的操作性查尔斯上同调类与扇形上的闵可夫斯基权之间存在典范同构。
• 查尔斯上同调类的乘积对应于格点上的位移操作，该操作在几何上反映了toric概形中的形变。
• 在有理系数下，toric概形的查尔斯环可作为子环嵌入麦克马伦的多面体代数中。
• 麦克马伦的多面体代数同构于所有固定环面的紧化形式的查尔斯环的直极限。
• 在非奇异情形下，与Todd类相关的闵可夫斯基权与一个Ehrhart多项式的生成函数相关联。
• 闵可夫斯基权的组合乘积通过格点位移编码了查尔斯环中的交点理论乘积。