[论文解读] Intersection Types for the lambda-mu Calculus

Steffen van Bakel, Franco Barbanera+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2017

Logic, programming, and type systems被引用 5

一句话总结

本文提出了一套$λ\mu$-演算的交集类型系统，该系统在归约与展开下保持不变，源自Streicher与Reus在$ω$-代数格上对连续性的记意模型，通过Abramsky的域-逻辑方法推导而来。该系统提供了过滤语义，确保与连续性模型的完备性，并通过受限类型系统刻画强正规化，为Parigot的有类型$λ\mu$-演算提供了强正规化的替代证明。

ABSTRACT

We introduce an intersection type system for the lambda-mu calculus that is invariant under subject reduction and expansion. The system is obtained by describing Streicher and Reus's denotational model of continuations in the category of omega-algebraic lattices via Abramsky's domain-logic approach. This provides at the same time an interpretation of the type system and a proof of the completeness of the system with respect to the continuation models by means of a filter model construction. We then define a restriction of our system, such that a lambda-mu term is typeable if and only if it is strongly normalising. We also show that Parigot's typing of lambda-mu terms with classically valid propositional formulas can be translated into the restricted system, which then provides an alternative proof of strong normalisability for the typed lambda-mu calculus.

研究动机与目标

• 为$λ\mu$-演算开发一套在归约与展开下保持不变的交集类型系统。
• 通过$ω$-代数格建立$λ\mu$-演算与记意模型之间的联系。
• 提供一种过滤语义，确保与连续性模型的完备性。
• 通过受限类型系统刻画$λ\mu$-演算中的强正规化。
• 通过类型转换，为Parigot的有类型$λ\mu$-演算提供强正规化的替代证明。

提出的方法

• 通过在$ω$-代数格范畴中解释Streicher与Reus的连续性记意模型，推导出类型系统。
• 应用Abramsky的域-逻辑方法，构建一个类型系统，其过滤器对应于域中的紧致元素。
• 定义类型解释$[\cdot]$，通过赋值与连续性语义将项映射到域中的元素。
• 通过证明当$M =_{\beta\mu} N$时有$[M] = [N]$，建立可靠性，使用了'交换连续性'方程。
• 从类型系统构造一个过滤模型，以证明与记意模型的完备性。
• 限制系统，通过可类型性精确识别出强正规化的$λ\mu$-项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为$λ\mu$-演算构造一个在归约与展开下保持不变的交集类型系统？
• RQ2 是否存在一种$λ\mu$-演算的过滤语义，能为其记意语义提供完备模型？
• RQ3 受限类型系统能否刻画$λ\mu$-演算中的强正规化？
• RQ4 能否将Parigot的经典类型系统嵌入受限交集类型系统，从而获得强正规化的替代证明？
• RQ5 能否构造一个$λ\mu$的类型系统，使其相对于连续性模型既可靠又完备？

主要发现

• 所提出的交集类型系统在归约与展开下均保持不变，确保了$λ\mu$-转换下的类型安全性。
• 通过基于类型预序的过滤模型构造，系统在连续性模型下是完备的。
• 受限版本的系统刻画了强正规化：当且仅当$λ\mu$-项在受限系统中可类型化时，它才是强正规化的。
• Parigot使用经典有效公式对$λ\mu$-项的类型化可被翻译到受限系统中，从而提供了强正规化的替代证明。
• 解释$[\cdot]$满足'交换连续性'方程，确认了其相对于$λ\mu$-可转换性的可靠性。
• 该构造表明，$ω$-代数格通过交集类型为$λ\mu$-演算提供了合适的语义域。