[论文解读] Intersections of Q-Divisors on Kontsevich's Moduli Space $\bar{M}_{0,n}(P^r,d)$ and Enumerative Geometry

Rahul Pandharipande|ArXiv.org|Apr 6, 1995

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出了一种递归算法，用于计算 Kontsevich 模空间 $\bar{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 上 Q-除子的上层交积，从而实现对 $\mathbb{P}^r$ 中有理曲线的特征数的计数，包括具有简单相切条件的曲线。主要贡献在于显式计算了在次数为 $d$ 的平面曲线线性系统中，1-尖点有理曲线闭链的次数。

ABSTRACT

The theory of Q-Cartier divisors on the space of n-pointed, genus 0, stable maps to projective space is considered. Generators and Picard numbers are computed. A recursive algorithm computing all top intersection products of Q-Divisors is established. As a corollary, an algorithm computing all characteristic numbers of rational curves in P^r is proven (including simple tangency conditions). Computations of these characteristic numbers are carried out in many examples. The degree of the 1-cuspidal rational locus in the linear system of degree d plane curves is explicitly evaluated.

研究动机与目标

• 开发一种系统方法，用于计算模空间 $\bar{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 上 Q-除子的上层交积。
• 确定该模空间上 Q- Cartier 除子类群的生成元和 Picard 数。
• 建立一个递归算法，用于计算 $\mathbb{P}^r$ 中有理曲线的特征数，包括具有简单相切条件的曲线。
• 计算在次数为 $d$ 的平面曲线线性系统中，1-尖点有理曲线闭链的次数。

提出的方法

• 本文利用稳定映射的几何性质以及模空间 $\bar{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 的结构，定义并分析 Q-除子。
• 计算了 Picard 群，并确定了 $\bar{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 上 Q- Cartier 除子类群的生成元。
• 基于边界除子的分解和模空间上的交积理论，构建了递归算法。
• 通过利用塔罗逻辑环中的已知关系，将上层交积数的计算归约为低维情形。
• 该方法适用于计数问题，例如具有指定接触条件的有理曲线计数。
• 该方法利用已知的塔罗逻辑关系和虚拟基本类，以确保结果的一致性和可计算性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\bar{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 上，Q- Cartier 除子类群的生成元和 Picard 数是什么？
• RQ2 能否构建一个递归算法，用于计算 $\bar{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 上所有 Q-除子的上层交积？
• RQ3 在次数为 $d$ 的平面曲线线性系统中，1-尖点有理曲线闭链的次数是多少？
• RQ4 如何计算 $\mathbb{P}^r$ 中有理曲线的特征数，包括具有简单相切条件的曲线？
• RQ5 在 $\bar{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 上，特定 Q-除子配置的显式交积数是多少？

主要发现

• 显式计算了 $\bar{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 上 Q- Cartier 除子类群的 Picard 数。
• 识别出 Q- Cartier 除子类群的生成元，为交积计算提供了基。
• 建立了递归算法，可计算 $\bar{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 上所有 Q-除子的上层交积。
• 该算法可实现 $\mathbb{P}^r$ 中有理曲线特征数的计算，包括具有简单相切条件的曲线。
• 对多种 $d$ 值，显式计算了在次数为 $d$ 的平面曲线线性系统中，1-尖点有理曲线闭链的次数。
• 在多个例子中进行了特征数的数值计算，验证了该算法的有效性。