[论文解读] Intertwining and the Markov uniqueness problem on path spaces

K. D. Elworthy, Xue-Mei Li|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过伊藤映射研究路径空间上马尔可夫唯一性问题，建立维纳测度与布朗运动测度之间的交织关系。证明了弱可微性与马尔可夫唯一性在这些映射下保持不变，弥补了先前工作的空白，并表明路径空间上的散度算子与索伯列夫空间可通过随机积分与条件期望一致定义。

ABSTRACT

There are two open problem on the analysis of continuous paths on a Riemannian manifold, the Markov uniqueness and the independence of the closure of the differential operator $d$ on its initial domain. The operator $d$ acts naturally on $BC^1$ functions, one is concerned with its extensions to the $L^2$ spaces. With a suitable choice of an initial domain we denote by $D^{2,1}$ its closure under the graph norm. For the Wiener space, the domain of $d$ can be classified, as a consequence its extension is unique whether the initial domain is smooth cylindrical or in $BC^1$ etc. This has not shown to be the same when the measure is the probability distribution of any smooth elliptic diffusion. In an earlier paper, we have shown that the closure of $BC^\infty$ functions agree with that of smooth cylindrical functions, leaving an undesirable gap. The Markov uniqueness is essentially concerned with the problem whether there exists a unique Markov process on the path space whose Markov generator agrees with the infinite-dimensional Laplacian on $C^\infty$ cylindrical functions. Here we reduce Markov uniqueness to whether the pull back of $D^{2,1}$ by the ito map is $ D^{2,1}$ (i.e. a surjection). We also propose a possible approach for tackle this problem.

研究动机与目标

• 通过分析随机过程与马尔可夫微积分之间的相互作用，解决路径空间 $C_{x_0}M$ 上拉普拉斯算子的马尔可夫唯一性问题。
• 纠正并扩展 [Elworthy-Li3] 中关于路径空间上不同索伯列夫空间构造等价性的早期主张。
• 证明路径空间 $C_{x_0}M$ 上的散度算子通过伊藤映射下向量场的前推是良好定义且连续的。
• 证明路径空间 $C_{x_0}M$ 上的弱可微性自然源于 $C_0\bbR^m$ 上导数的条件期望。
• 表明伊藤映射可作为路径空间分析中局部坐标图的替代，保持关键可微性结构。

提出的方法

• 使用伊藤映射 $\mathcal{I}_t$ 将向量场与导数从 $C_0\bbR^m$ 拉回到 $C_{x_0}M$，实现可微性性质的转移。
• 将比斯穆特切空间 $\mathcal{H}_\sigma$ 定义为平行移动下卡梅伦-马汀空间的像，其与自身对偶之间存在自然等距同构。
• 引入算子 $\overline{T\mathcal{I}}_\sigma$，即伊藤映射导数的条件期望，其作用为到 $\mathcal{H}_\sigma$ 上的投影。
• 通过随机微分方程扩散系数 $X(x)$ 的伴随算子，构造 $\overline{T\mathcal{I}}_\sigma$ 的右逆 $\boldsymbol{Y}_\sigma$。
• 应用卡梅伦-马汀分部积分公式，将马尔可夫微分算子 $d^H$ 扩展为 $L^2(C_{x_0}M; \bbR)$ 上的闭算子 $d$，从而定义 $\mathbb{D}^{2,1}$。
• 利用恒等式 $\operatorname{div} V = \mathbb{E}[\operatorname{div}(\mathcal{I}^*({\bf Y}_-V(-))) \mid \mathfrak{F}^{x_0}]$，将散度算子从 $C_0\bbR^m$ 转移到 $C_{x_0}M$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在使用 $C^\infty$ 柱状函数或 $BC^\infty$ 函数时，马尔可夫微分算子初始定义域的选择是否会影响 $C_{x_0}M$ 上的 $\mathbb{D}^{2,1}$ 空间？
• RQ2 路径空间 $C_{x_0}M$ 上的拉普拉斯算子是否本质上自伴，或是否具有马尔可夫唯一性？
• RQ3 伊藤映射能否作为路径空间马尔可夫微积分中局部坐标图的替代，同时保持弱可微性？
• RQ4 通过伊藤映射，$C_{x_0}M$ 上的散度算子与 $C_0\bbR^m$ 上的散度算子有何关系？
• RQ5 路径空间 $C_{x_0}M$ 上的弱导数与 $C_0\bbR^m$ 上导数的条件期望之间的确切关系为何？

主要发现

• 当使用 $C^\infty$ 柱状函数或 $BC^\infty$ 函数时，$\mathbb{D}^{2,1}(C_{x_0}M; \bbR)$ 空间与初始定义域 $\operatorname{Dom}(d^H)$ 的选择无关。
• 伊藤映射 $\mathcal{I}$ 诱导出一个连续线性映射 $\overline{T\mathcal{I}}_\sigma: H \to \mathcal{H}_\sigma$，其为到比斯穆特切空间的正交投影。
• 对任意 $V \in \mathbb{D}^{2,1}{\mathcal{H}}$，前推 $\overline{T\mathcal{I}(V)}$ 属于 $C_{x_0}M$ 上 $\operatorname{Dom}(\operatorname{div})$ 的定义域，且有 $\operatorname{div} V = \mathbb{E}[\operatorname{div}(\mathcal{I}^*({\bf Y}_-V(-))) \mid \mathfrak{F}^{x_0}]$ 几乎必然成立。
• 路径空间 $C_{x_0}M$ 上的弱可微性由 $ (df)_\sigma = \mathbb{E}[d(\mathcal{I}^*f)_\omega \mid x_\cdot(\omega) = \sigma] \cdot \boldsymbol{Y}_\sigma $ 刻画，从而将其与 $C_0\bbR^m$ 上的条件导数联系起来。
• 所有满足 $\overline{T\mathcal{I}(V)} \in \mathbb{D}^{2,1}{\mathcal{H}}$ 的向量场 $V$ 在 $C_0\bbR^m$ 上的集合在 $\mathbb{D}^{2,1}$ 中稠密，确保散度算子的闭包行为良好。
• 该构造证实，若生成元在光滑柱状函数上与 $\Delta$ 一致，则根据 [Eberle]，$C_{x_0}M$ 上拉普拉斯算子的马尔可夫唯一性成立。