[论文解读] Intertwining vertex operators and certain representations of sl(n)^

Corina Calinescu|ArXiv.org|Nov 17, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用 32

一句话总结

本文通过构造互换顶点算符的正合序列，推导出 $ω̂̂\mathfrak{sl}(l+1)$ 的 1 级标准模主子空间的格次维数的完整递推关系，推广了罗杰斯-拉马努金型恒等式。利用顶点算符技巧并证明定义关系的完备性，本文以统一的代数框架重新获得了乔治耶夫通过组合基先前得到的格次维数结果。

ABSTRACT

We study the principal subspaces, introduced by B. Feigin and A. Stoyanovsky, of the level 1 standard modules for $\hat{\goth{sl}(l+1)}$ with $l \geq 2$. In this paper we construct exact sequences which give us a complete set of recursions that characterize the graded dimensions of the principal subspaces of these representations. This problem can be viewed as a continuation of a new program to obtain Rogers-Ramanujan-type recursions, which was initiated by S. Capparelli, J. Lepowsky and A. Milas. In order to prove the exactness of the sequences we use intertwining vertex operators and we supply a proof of the completeness of a list of relations for the principal subspaces. By solving these recursions we recover the graded dimensions of the principal subspaces, previously obtained by G. Georgiev using a different method.

研究动机与目标

• 将罗杰斯-拉马努金递推程序推广至更高秩仿射李代数 $\widehat{\mathfrak{sl}}(l+1)$，其中 $l \geq 2$。
• 利用互换顶点算符的正合序列表征 1 级标准模主子空间的格次维数。
• 通过顶点算符方法证明定义主子空间的关系集合的完备性。
• 以代数方式重新获得这些子空间的格次维数，确认乔治耶夫先前通过组合方法得到的结果。

提出的方法

• 构造在 universal completion of the universal enveloping algebra $\widehat{U}(\bar{n})$ 中生成正合序列的互换顶点算符。
• 将主子空间 $W(\Lambda_i)$ 定义为商 $U(\bar{n})/I_{\Lambda_i}$，其中 $I_{\Lambda_i}$ 是最高权向量 $v_{\Lambda_i}$ 的零化子。
• 识别由元素 $R_t^{[j]} = \sum_{m_1 + m_2 = t} x_{\alpha_j}(m_1)x_{\alpha_j}(m_2)$ 生成的理想 $\mathcal{J}$，其中 $t \in \mathbb{Z}$ 且 $j = 1,\dots,l$。
• 利用序列的正合性，推导出生成函数 $\chi_0(x_1,\dots,x_l;q)$ 和 $\chi_j'(x_1,\dots,x_l;q)$ 的递推系统。
• 通过迭代代入求解递推关系，得到以 $q$-Pochhammer 符号表示的闭式生成函数。
• 通过与乔治耶夫的组合基构造比较，验证解与已知格次维数的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过代数方法表征 $ω̂̂\mathfrak{sl}(l+1)$ 的 1 级标准模主子空间的格次维数？
• RQ2 定义主子空间的完整关系集合是什么？如何利用顶点算符技巧证明其完备性？
• RQ3 能否通过互换顶点算符将罗杰斯-拉马努金型递推关系推广至更高秩仿射李代数？
• RQ4 主子空间的生成函数如何与 $ω̂̂\mathfrak{sl}(l+1)$ 的广义卡坦矩阵相关联？
• RQ5 递推系统解是否等价于乔治耶夫利用组合公式得到的格次维数？

主要发现

• 主子空间 $W(\Lambda_0)$ 的格次维数为 $\chi_0(x_1,\dots,x_l;q) = \sum_{r_1,\dots,r_l \geq 0} \frac{q^{r_1^2 + \cdots + r_l^2 - r_2r_1 - \cdots - r_l r_{l-1}}}{(q)_{r_1} \cdots (q)_{r_l}} x_1^{r_1} \cdots x_l^{r_l}$。
• 对每个 $j = 1,\dots,l$，格次维数 $\chi_j'(x_1,\dots,x_l;q)$ 为 $\sum_{r_1,\dots,r_l \geq 0} \frac{q^{r_1^2 + \cdots + r_l^2 + r_j - r_2r_1 - \cdots - r_l r_{l-1}}}{(q)_{r_1} \cdots (q)_{r_l}} x_1^{r_1} \cdots x_l^{r_l}$。
• 完整的格次维数 $\chi_j(x_1,\dots,x_l;q)$ 与 $\chi_j'$ 的关系为 $\chi_j = x_1^{\langle \lambda_1, \lambda_j \rangle} \cdots x_l^{\langle \lambda_l, \lambda_j \rangle} q^{\frac{1}{2}\langle \lambda_j, \lambda_j \rangle} \chi_j'$。
• 所推导的递推关系等价于以广义卡坦矩阵 $A = (a_{ij})$ 表示的递推关系，其中 $\chi_0$ 满足 $\chi_0(x_1,\dots,x_l;q) = \chi_0(x_1q,\dots,x_l;q) + x_1 q \chi_0(x_1q^2, x_2q^{-1}, \dots, x_l;q)$。
• 递推系统解的确认与乔治耶夫利用具有着色电荷的分拆组合基先前得到的格次维数一致。
• 通过互换顶点算符构造的序列的正合性，为定义主子空间的关系的完备性提供了新的代数证明。