[论文解读] Intertwining wavelets or Multiresolution analysis on graphs through random forests

Luca Avena, Fabienne Castell+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 25被引用 14

一句话总结

本文提出了一种基于随机生成的生成森林对图信号进行多分辨率分析的新方法，通过随机下采样顶点并近似马尔可夫交错关系来构建小波基。该方法实现了完美重构，提供了重构误差和算子范数的理论界，并在稀疏采样及通过 $q$ 和 $q^\prime$ 参数调优下，相较于谱图小波表现出更优的压缩性能。

ABSTRACT

We propose a new method for performing multiscale analysis of functions defined on the vertices of a finite connected weighted graph. Our approach relies on a random spanning forest to downsample the set of vertices, and on approximate solutions of Markov intertwining relation to provide a subgraph structure and a filter bank leading to a wavelet basis of the set of functions. Our construction involves two parameters q and q'. The first one controls the mean number of kept vertices in the downsampling, while the second one is a tuning parameter between space localization and frequency localization. We provide an explicit reconstruction formula, bounds on the reconstruction operator norm and on the error in the intertwining relation, and a Jackson-like inequality. These bounds lead to recommend a way to choose the parameters q and q'. We illustrate the method by numerical experiments.

研究动机与目标

• 开发一种适用于图信号的多分辨率分析框架，将经典小波变换推广至非规则加权图。
• 解决在不依赖谱分解或规则网格假设的前提下，于图上构建小波基的挑战。
• 通过基于马尔可夫交错关系构建的滤波器组，实现图信号的完美重构。
• 通过类似杰克逊不等式的理论工具，为重构误差、算子范数和近似精度提供理论保证。
• 通过调节参数 $q$ 和 $q^\prime$，在小波构造中平衡空间与频率局部化。

提出的方法

• 利用随机生成的生成森林对加权图的顶点集进行随机下采样，通过参数 $q$ 控制保留顶点的期望数量。
• 通过保留保留顶点之间的边，并定义舒尔补拉普拉斯矩阵，构建子图结构以建模粗化后的图。
• 利用森林结构导出的转移核，近似原始过程与粗化过程之间的马尔可夫交错关系。
• 通过交错核定义小波函数与尺度函数，从而构建将图信号分解为近似与细节分量的滤波器组。
• 通过在多层上递归应用下采样与滤波过程，实现多分辨率方案。
• 对粗化后的图实施稀疏化处理，以提升计算效率与信号重构精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不假设规则结构或谱分解的前提下，于一般加权图上构建多分辨率分析？
• RQ2 随机生成的生成森林在实现图信号的分层多尺度表示中起到何种作用？
• RQ3 如何近似不同图尺度上马尔可夫过程之间的交错关系，以构建稳定的图小波基？
• RQ4 所提出的小波框架中，重构误差与算子范数的理论界是什么？
• RQ5 参数 $q$ 与 $q^\prime$ 如何影响最终小波基在空间与频率局部化之间的权衡？

主要发现

• 所提方法通过基于近似马尔可夫交错关系的滤波器组，实现了图信号的完美重构。
• 推导出重构算子范数与交错关系误差的理论界，支持通过 $q$ 与 $q^\prime$ 进行理论参数调优。
• 建立了类似杰克逊不等式的理论结果，量化了近似误差与信号平滑度及分解尺度之间的关系。
• 数值实验表明，交错小波在压缩性能上优于谱图小波，例如在明尼苏达州图上，当保留系数比例为10%时，相对误差降低高达30%。
• 对粗化图进行稀疏化处理显著提升了重构精度，尤其在非规则图（如传感器网络）中效果明显。
• 仅使用最大归一化细节系数的10%即可实现高保真度重构，测试图上的相对误差低于0.05。