[论文解读] Interval estimation in the presence of nuisance parameters. 1. Bayesian approach

J. G. Heinrich, C. Blocker+5 more|ArXiv.org|Sep 27, 2004

Statistical Methods and Inference参考文献 8被引用 14

一句话总结

本文提出了一种贝叶斯方法，用于在存在干扰参数（如粒子物理中的不确定探测器接受率和本底率）时进行区间估计。通过使用具有共轭先验的层次化模型并对手术参数进行边缘化，推导出信号率的精确后验分布，确保平均频率学覆盖性，并提供对系统不确定性具有鲁棒性的可信区间。

ABSTRACT

We address the common problem of calculating intervals in the presence of systematic uncertainties. We aim to investigate several approaches, but here describe just a Bayesian technique for setting upper limits. The particular example we study is that of inferring the rate of a Poisson process when there are uncertainties on the acceptance and the background. Limit calculating software associated with this work is available in the form of C functions.

研究动机与目标

• 为在存在系统不确定性（例如接受率和本底率）时构建可靠置信区间的挑战提供解决方案。
• 开发一种贝叶斯框架，可处理干扰参数而无需辅助测量或点估计。
• 确保所得区间保持可接受的频率学覆盖性，特别是对先验分布取平均后的平均覆盖性。
• 提供一种在泊松计数实验中存在系统不确定性时，计算上限的实用且计算可行的方法。
• 在存在量化数据的情况下，比较贝叶斯方法与频率学方法在覆盖性和区间长度方面的表现。

提出的方法

• 使用层次化贝叶斯模型，将信号率 $ s $、接受率 $ \epsilon $ 和本底率 $ b $ 视为具有适当先验的随机变量。
• 应用共轭先验——对 $ s $、$ \epsilon $ 和 $ b $ 使用伽马分布——以实现对干扰参数的解析边缘化。
• 通过在 $ \epsilon $ 和 $ b $ 上积分，推导出 $ s $ 的边缘后验分布，得到涉及超几何函数的复杂表达式。
• 利用平均覆盖性定理证明：当对先验分布取平均时，贝叶斯可信区间具有平均频率学覆盖性。
• 使用数值积分和特殊函数（如超几何函数）计算观测计数 $ n $ 的可信区间，并提供显式公式。
• 提供 C 语言函数以实现该方法，使该方法可直接用于高能物理实验中，实现对存在系统不确定性的上限的可重现计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 当存在接受率和本底率的系统不确定性时，贝叶斯方法如何被调整以生成可靠的信号率区间？
• RQ2 在存在干扰参数的情况下，贝叶斯可信区间的覆盖性行为如何？与频率学方法相比有何差异？
• RQ3 贝叶斯方法是否能在不出现覆盖不足的情况下，保持平均频率学覆盖性，即使在真实参数值变化时精确覆盖性有所波动？
• RQ4 使用不当先验（如平坦先验）对贝叶斯区间覆盖性特性有何影响？
• RQ5 在低计数泊松实验中，所得区间的长度和合理性与频率学方法相比如何？

主要发现

• 贝叶斯方法产生的可信区间在先验分布上取平均时，具有平均频率学覆盖性，这由平均覆盖性定理证明。
• 尽管对于特定 $ s $ 的真实值，个别贝叶斯区间可能存在覆盖不足，但对先验分布取平均后，可确保覆盖性保持在名义水平。
• 当 $ n $ 为非负整数且形状参数为正时，该方法可推导出 $ s $ 的边缘后验分布的精确解析表达式，涉及超几何函数。
• 该方法避免了某些频率学方法在低统计量区域可能出现的空区间或退化区间问题。
• 当 $ \omega \to \infty $ 时，推导出的公式退化为 $ b $ 固定时的标准结果，证实了与已知解的一致性。
• 该方法的实现以 C 语言函数形式提供，可直接用于高能物理实验中，实现对存在系统不确定性的上限的计算。