[论文解读] Interval Graphs with Containment Restrictions

Jeffrey Beyerl, Robert E. Jamison|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文引入了 $p$-非正则区间图，其定义为在区间表示中，任一区间不包含超过 $p$ 个其他区间的图，并对 $\mathscr{I}_p$ 类的最小禁止子图进行了表征。研究发现，$p$-非正则区间图具有丰富多样的最小禁止子图，尤其在平衡情形下，通过基于顶点类型和分量权重的新型构造方法，给出了完整的表征。

ABSTRACT

An interval graph is proper iff it has a representation in which no interval contains another. Fred Roberts characterized the proper interval graphs as those containing no induced star $K_{1,3}$. Proskurowski and Telle have studied $q$-proper graphs, which are interval graphs having a representation in which no interval is properly contained in more than $q$ other intervals. Like Roberts they found that their classes of graphs where characterized, each by a single minimal forbidden subgraph. This paper initiates the study of $p$-improper interval graphs where no interval contains more than $p$ other intervals. This paper will focus on a special case of $p$-improper interval graphs for which the minimal forbidden subgraphs are readily described. Even in this case, it is apparent that a very wide variety of minimal forbidden subgraphs are possible.

研究动机与目标

• 定义并研究 $p$-非正则区间图，其中在任一表示中，任一区间不包含超过 $p$ 个其他区间。
• 识别表征 $\mathscr{I}_p$ 类 $p$-非正则区间图的最小禁止子图（MFISGs）。
• 分析 $p$-非正则区间图的结构性质，尤其关注通过分量权重和顶点类型确定非正则性的平衡情形。
• 利用 $\textsf{BAL}_k(\mathcal{H})$ 构造方法（$k=0,1,2$）提供 $p$-临界且平衡的区间图的构造性表征。
• 证明顶点的权重为图的非正则性的下界，且仅在平衡情形下等号成立。

提出的方法

• 将非正则性 $\mbox{imp}(G)$ 定义为所有区间表示中，任一区间内所含区间数目的最大值的最小值。
• 将顶点 $z$ 的权重 $\mbox{wt}(z)$ 定义为 $G\setminus\{z\}$ 中除两个非外部局部分量外其余 $n-2$ 个最小局部分量大小之和，其中 $n$ 为局部分量的总数。
• 利用权重函数推导 $\mbox{imp}(G)$ 的下界，且等号成立当且仅当图是平衡的。
• 将 $\textsf{BAL}_k(\mathcal{H})$ 定义为：一个中心顶点 $z$ 与一系列区间图 $H_i$ 相连，当 $k=1,2$ 时，附加 $k$ 个悬挂的 $P_3$ 路径，并在最大的 $H_i$ 之间添加团以确保临界性。
• 证明 $p$-临界且平衡的图恰好是 $\textsf{BAL}_k(\mathcal{H})$（$k=0,1,2$）的同构图，且最大的分量需为团。
• 证明从 $\textsf{BAL}_k(\mathcal{H})$ 的表示中移除任意一个区间会降低非正则性，从而证明其临界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些是最小禁止子图，能够表征 $p$-非正则区间图的类？
• RQ2 顶点的权重如何与图的非正则性相关？该下界在何时达到紧致？
• RQ3 哪些结构条件定义了 $p$-临界且平衡的区间图？
• RQ4 能否通过参数化图构造族，给出 $p$-临界且平衡区间图的构造性表征？
• RQ5 局部分量（尤其是外部和内部分量）的数量和类型如何影响顶点和整个图的非正则性？

主要发现

• 类 $\mathscr{I}_p$ 的 $p$-非正则区间图具有最小禁止子图表征，且对每个 $p$，$K_{1,p+3}$ 是一个最小禁止子图。
• 当 $p=1$ 时，本文提供了完整的 10 个最小禁止子图列表，展示了即使在低 $p$ 情形下，此类子图也具有复杂性和多样性。
• 顶点 $z$ 的权重 $\mbox{wt}(z)$ 为 $\mbox{imp}(G)$ 提供了一个下界，且 $\mbox{wt}(G) = \mbox{imp}(G)$ 成立当且仅当图是平衡的。
• 一个图是 $p$-临界且平衡的，当且仅当其同构于 $\textsf{BAL}_k(\mathcal{H})$（$k=0,1,2$），且所有 $H_i$ 中最大的分量为团。
• 在 $\textsf{BAL}_k(\mathcal{H})$ 构造中，从表示中移除任意一个区间会降低非正则性，从而确认了这些图的临界性。
• 构造 $\textsf{BAL}_k(\mathcal{H})$ 确保非正则性等于中心顶点的权重，且该值在所有表示中最小，从而确认了表示的最小性。