[论文解读] Interval Linear Programming under Transformations: Optimal Solutions and Optimal Value Range

Elif Garajová, Milan Hladík+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2018

Water resources management and optimization参考文献 19被引用 33

一句话总结

本文研究标准线性规划变换对区间线性规划（ILPs）的影响，表明尽管某些变换能保持最优解和最优值范围，但其他变换由于系数独立扰动而引入依赖性问题。主要贡献在于证明：对于具有固定系数矩阵的ILPs，诸如拆分方程或替换自由变量等变换，尽管无限界可能发生改变，仍能保持有限最优值的集合不变。

ABSTRACT

Interval linear programming provides a tool for solving real-world optimization problems under interval-valued uncertainty. Instead of approximating or estimating crisp input data, the coefficients of an interval program may perturb independently within the given lower and upper bounds. However, contrarily to classical linear programming, an interval program cannot always be converted into a desired form without affecting its properties, due to the so-called dependency problem. In this paper, we discuss the common transformations used in linear programming, such as imposing non-negativity on free variables or splitting equations into inequalities, and their effects on interval programs. Specifically, we examine changes in the set of all optimal solutions, optimal values and the optimal value range. Since some of the considered properties do not holds in the general case, we also study a special class of interval programs, in which uncertainty only affects the objective function and the right-hand-side vector. For this class, we obtain stronger results.

研究动机与目标

• 分析标准线性规划变换对区间线性规划（ILPs）的影响，特别是关于最优解和最优值范围的影响。
• 识别哪些变换能在独立系数扰动引起的依赖性问题下，仍保持ILPs的基本性质。
• 研究一类特殊ILPs，其中不确定性仅限于目标函数和右端项，以获得更强的理论结果。
• 阐明最优解集和最优值范围在不同ILP形式之间保持不变的条件。
• 通过识别变换不变性质，为从一种ILP形式推广结果至其他形式提供基础。

提出的方法

• 本文将区间线性规划定义为具有约束矩阵、右端项和目标函数中区间系数的确定性线性规划族。
• 分析三种常见变换：将等式约束转换为不等式、用非负变量替换自由变量，以及添加松弛变量。
• 通过强对偶性和线性规划的性质进行理论分析，比较变换前后程序的最优值集合。
• 研究具有固定系数矩阵的ILPs，其中不确定性仅影响目标函数和右端项，以推导更强的保持结果。
• 利用对偶性和可行性论证证明关键定理，表明在特定变换下有限最优值保持不变。
• 通过反例说明，一般变换可能因导致不可行性或无界性而改变最优值范围。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些标准线性规划变换能保持区间线性规划中所有最优解的集合？
• RQ2 变换如何影响区间线性规划的最优值范围，特别是在独立系数扰动存在的情况下？
• RQ3 即使由于无限界导致最优值范围发生变化，有限最优值的集合是否仍能在变换下保持不变？
• RQ4 在区间优化中，依赖性问题在何种条件下会阻止ILP形式的有效变换？
• RQ5 对于不确定性仅限于目标函数和右端项向量的ILPs，是否能获得更强的保持结果？

主要发现

• 将等式约束拆分为两个不等式，能保持最小化问题中最佳情况最优值（最优值范围的下界）不变。
• 用两个非负变量的差替换自由变量，能保持最小化问题中最坏情况最优值（最优值范围的上界）不变。
• 对于具有固定系数矩阵的ILPs，有限最优值的集合在等式拆分和自由变量替换变换下保持不变。
• 一般情况下，最优解集在变换下并不保持不变，即使对于固定系数矩阵，也是由于不同情景下可行集发生变化。
• 变换可能引入不可行或无界的情景，导致最优值范围扩展至包含无限界，即使原问题具有有限边界。
• 结果表明，有限最优值在关键变换下保持不变，为在不同ILP形式间推广结果提供了基础。