[论文解读] Interval partition evolutions with emigration related to the Aldous diffusion

Noah Forman, Soumik Pal+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 18被引用 8

一句话总结

该论文在区间划分上构建了一个平稳的马尔可夫扩散过程，用于建模连续随机树脊椎线上子树质量与距离的演化，其灵感来自阿隆德斯猜想的树值扩散。关键贡献在于通过在克拉姆普-莫德-贾吉尔斯分支过程中引入移民机制，对具有负突变率的沃森-费舍尔扩散进行递归扩展，使得零成为吸收边界，从而实现了首个平稳的、马尔可夫的阿隆德斯猜想扩散的投影。

ABSTRACT

We construct a stationary Markov process corresponding to the evolution of masses and distances of subtrees along the spine from the root to a branch point in a conjectured stationary, continuum random tree-valued diffusion that was proposed by David Aldous. As a corollary this Markov process induces a recurrent extension, with Dirichlet stationary distribution, of a Wright-Fisher diffusion for which zero is an exit boundary of the coordinate processes. This extends previous work of Pal who argued a Wright-Fisher limit for the three-mass process under the conjectured Aldous diffusion until the disappearance of the branch point. In particular, the construction here yields the first stationary, Markovian projection of the conjectured diffusion. Our construction follows from that of a pair of interval partition-valued diffusions that were previously introduced by the current authors as continuum analogues of down-up chains on ordered Chinese restaurants with parameters (1/2,1/2) and (1/2,0). These two diffusions are given by an underlying Crump-Mode-Jagers branching process, respectively with or without immigration. In particular, we adapt the previous construction to build a continuum analogue of a down-up ordered Chinese restaurant process with the unusual parameters (1/2,-1/2), for which the underlying branching process has emigration.

研究动机与目标

• 构建一个平稳的、马尔可夫的过程，以投影连续随机树上阿隆德斯猜想扩散的投影，重点关注脊椎线上的子树质量与距离。
• 通过引入一种机制，使具有负突变率的沃森-费舍尔扩散（其中零为吸收边界）能够继续演化，从而解决分支点消失后过程无法延续的问题。
• 通过开发参数为 (1/2, -1/2) 的向下-向上中国餐馆过程的连续类比，扩展先前关于离散阿隆德斯链的研究，以建模底层分支过程中的移民行为。
• 通过使用具有移民的克拉姆普-莫德-贾吉尔斯过程，严格构造一种类型-2区间划分值扩散过程，并具有狄利克雷平稳分布。
• 证明所构造过程的样本路径正则性及矩界，确保样本路径几乎必然连续且具有赫尔德连续性。

提出的方法

• 作者构建了参数为 (1/2, -1/2) 的向下-向上中国餐馆过程的连续类比，用于建模具有移民的克拉姆普-莫德-贾吉尔斯分支过程。
• 他们在区间划分的空间上定义了一类类型-2区间划分值扩散过程，其中块代表子树质量，其位置编码了与根的距离。
• 该过程通过基于泊松点过程和时间改变的莱维过程的随机构造实现，确保了狄利克雷平稳分布。
• 他们使用耦合论证和伪平稳性，以控制过程在时间平移和初始质量缩放下的行为。
• 样本路径正则性的证明依赖于科莫戈罗夫-琴采夫定理，矩界通过缩放和先前工作的矩估计推导得出。
• 一个关键技术步骤是通过块长度和匹配距离来界定区间划分之间的度量 $ d_{\text{I}} $，从而导出赫尔德连续性的估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个平稳的、马尔可夫的投影过程，用于阿隆德斯连续随机树上的猜想扩散，使其在分支点消失后仍保持定义良好？
• RQ2 如何将具有负突变率的沃森-费舍尔扩散扩展至零吸收态之外，考虑到零是吸收边界？
• RQ3 在克拉姆普-莫德-贾吉尔斯分支过程中，移民在实现子树质量在连续极限下一致、连续演化中起到什么作用？
• RQ4 是否存在参数为 (1/2, -1/2) 的向下-向上中国餐馆过程的连续类比？它与阿隆德斯扩散有何关系？
• RQ5 此类构造的区间划分扩散的样本路径具有哪些正则性属性（例如赫尔德连续性）？

主要发现

• 所构造的过程是在区间划分上的平稳马尔可夫过程，具有狄利克雷平稳分布，是首个实现阿隆德斯猜想扩散投影的此类过程。
• 该过程诱导了具有突变参数 $(-1/2, -1/2, 1/2)$ 的沃森-费舍尔扩散的递归扩展，克服了在零处吸收的问题。
• 区间划分过程的样本路径几乎必然为任意阶 $ \theta < 1/4 $ 的赫尔德连续，且其赫尔德半范数具有有限的 $ L^p $-矩。
• 该过程通过具有移民的克拉姆普-莫德-贾吉尔斯分支过程构建，建模了具有负移民的中国餐馆过程的连续类比。
• 该构造确保总质量过程 $ Z(y) = \|\beta^y\| $ 行为良好，且区间划分之间的度量 $ d_{\mathcal{I}} $ 满足矩界，从而保证路径正则性。
• 该方法表明，对于任意初始质量 $ x > 0 $，样本路径的赫尔德连续性几乎必然成立，且在紧致时间区间上具有一致的界。