[论文解读] Interval Superposition Arithmetic

Yanlin Zha, Mario E. Villanueva+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2016

Numerical Methods and Algorithms参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文提出区间叠加算术，一种新颖的基于集合的计算方法，通过使用区间系数矩阵和基函数来包围多元可因式分解函数的像。该方法在变量数量上实现线性时间复杂度，并通过利用Minkowski和对变量依赖关系的建模，相比传统区间算术提供了更紧致的包围。

ABSTRACT

This paper presents a novel set-based computing method, called interval superposition arithmetic, for enclosing the image set of multivariate factorable functions on a given domain. In order to construct such enclosures, the proposed arithmetic operates over interval superposition models which are parameterized by a matrix with interval components. Every point in the domain of a factorable function is then associated with a sequence of components of this matrix and the superposition, i.e. Minkowski sum, of these elements encloses the image of the function at this point. Interval superposition arithmetic has a linear runtime complexity with respect to the number of variables. Besides presenting a detailed theoretical analysis of the accuracy and convergence properties of interval superposition arithmetic, the paper illustrates its advantages compared to existing set arithmetics via numerical examples.

研究动机与目标

• 解决传统区间算术中由于多元函数的依赖问题导致的过度估计问题。
• 开发一种计算高效的可因式分解函数图像集包围方法，相比基于凸集的方法具有更高的精度。
• 通过使用非凸区间叠加模型，实现对非凸图像集的紧密范围包围。
• 实现与变量数量呈线性时间复杂度，使其在高维问题中具有可扩展性。
• 为可因式分解函数库中的基本原子运算传播区间叠加模型提供一个通用框架。

提出的方法

• 使用区间叠加模型表示可因式分解函数，该模型定义为仅依赖于单个变量的区间分量的Minkowski和。
• 使用仅依赖于xᵢ的可分离基函数φᵢʲ(x)，从而实现分量级极值计算。
• 通过算法1将模型传播至一元原子运算（例如sin、exp、inv），该算法通过平移和缩放原始区间计算新的区间系数。
• 引入余项界r₉(A)以考虑函数复合中的近似误差，确保包围的有效性。
• 通过将r₉(A) × [−1,1]加至一个系数，执行校正步骤，以在所有x ∈ X范围内保持包围的完整性。
• 通过求和区间系数的分量最小值和最大值，计算函数的全局下界和上界，得到λ(A)和μ(A)。

实验结果

研究问题

• RQ1 区间叠加算术是否能在保持线性时间复杂度的同时，相比传统区间算术提供更紧致的范围包围？
• RQ2 与基于凸集的方法（如椭球体或zonotopes）相比，该方法如何处理多元可因式分解函数中的依赖问题？
• RQ3 对于域直径较小的函数，区间叠加算术的收敛行为如何？
• RQ4 在凸包方法无法提供紧致边界的情况下，该方法在非凸图像集上的表现如何？
• RQ5 该框架是否可系统性地扩展至可因式分解函数库中的所有标准原子运算（例如+、−、*、inv、sin、exp、log）？

主要发现

• 该方法在变量数n和基函数数N上实现线性时间复杂度O(nN)，使其适用于高维问题。
• 区间叠加模型确保计算出的包围F₆,ₓ(x)必然包含函数f(x)在定义域X上的真实像。
• 通过将区间系数的分量最小值和最大值求和得到的边界λ(A)和μ(A)，可对函数f提供精确的范围包围。
• 通过使用余项界r₉(A)和校正步骤，即使在非线性复合情况下也能确保包围的有效性，误差被限制在r₉(A) × [−1,1]范围内。
• 数值示例表明，区间叠加算术相比标准区间算术提供了更紧致的包围，且与更复杂的方法（如泰勒模型）相比具有竞争力。
• 该方法在域直径较小的函数上尤为有效，此时收敛性质有利，并避免了基于凸包的方法在非凸图像集上常见的过度估计问题。