[论文解读] Into the Square - On the Complexity of Quadratic-Time Solvable Problems

Michele Borassi, Pierluigi Crescenzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 33被引用 23

一句话总结

本文研究了二次时间可解问题的细粒度复杂度，证明了通过使用时间复杂度为 $\mathcal{O}(mn^{(\omega+1)/4})$ 的修改版传递闭包算法，传递性检查和可比图识别可在真正次二次时间内求解，其中 $m$ 是传递闭包中的边数，$\omega$ 是矩阵乘法指数。此外，本文还建立了一个 Karp 风格的归约框架，表明包括计算中间中心性、最小接近中心性以及双曲性在内的多个问题，在强指数时间假设（SETH）下与 $k$-Sat 一样困难。

ABSTRACT

This paper will analyze several quadratic-time solvable problems, and will classify them into two classes: problems that are solvable in truly subquadratic time (that is, in time $O(n^{2-ε})$ for some $ε>0$) and problems that are not, unless the well known Strong Exponential Time Hypothesis (SETH) is false. In particular, we will prove that some quadratic-time solvable problems are indeed easier than expected. We will provide an algorithm that computes the transitive closure of a directed graph in time $O(mn^{\frac{ω+1}{4}})$, where $m$ denotes the number of edges in the transitive closure and $ω$ is the exponent for matrix multiplication. As a side effect, we will prove that our algorithm runs in time $O(n^{\frac{5}{3}})$ if the transitive closure is sparse. The same time bounds hold if we want to check whether a graph is transitive, by replacing m with the number of edges in the graph itself. As far as we know, this is the fastest algorithm for sparse transitive digraph recognition. Finally, we will apply our algorithm to the comparability graph recognition problem (dating back to 1941), obtaining the first truly subquadratic algorithm. The second part of the paper deals with hardness results. Starting from an artificial quadratic-time solvable variation of the k-SAT problem, we will construct a graph of Karp reductions, proving that a truly subquadratic-time algorithm for any of the problems in the graph falsifies SETH. The analyzed problems are the following: computing the subset graph, finding dominating sets, computing the betweenness centrality of a vertex, computing the minimum closeness centrality, and computing the hyperbolicity of a pair of vertices. We will also be able to include in our framework three proofs already appeared in the literature, concerning the graph diameter computation, local alignment of strings and orthogonality of vectors.

研究动机与目标

• 在强指数时间假设（SETH）下，将二次时间可解问题分类为可实现真正次二次算法的问题与不可实现的问题。
• 为检查稀疏图是否具有传递性，开发一种更快的算法，从而改进这一基础图论问题的已知时间界。
• 为识别可比图问题提供首个真正次二次算法，该问题自1941年以来一直存在，此前无次二次解法。
• 建立从 $k$-Sat 的二次时间变体到多个图论问题的 Karp 归约框架，证明其在 SETH 下的难解性。
• 在一个统一的复杂度框架内，整合并扩展现有关于 3-Sum、局部字符串对齐和正交向量检测等问题的难解性结果。

提出的方法

• 提出经典传递闭包算法的修改版本，其时间复杂度为 $\mathcal{O}(mn^{(\omega+1)/4})$，其中 $m$ 是传递闭包中的边数，$\omega$ 是矩阵乘法指数。
• 利用传递闭包的稀疏性，推导出稀疏图的复杂度界为 $\mathcal{O}(n^{5/3})$，从而实现真正次二次性能。
• 将新传递闭包算法应用于可比图识别问题，结合先前工作中的结果，实现首个已知的真正次二次算法。
• 从 $k$-Sat 的二次时间变体出发，构建 Karp 归约图，证明若任意链中问题存在真正次二次算法，将导致 SETH 失效。
• 从 TwoCovering 问题到二分图支配集问题，以及从 BigTwoCovering 到局部字符串对齐问题，建立归约，使用带特殊分隔符的二进制字符串编码来模拟集合覆盖。
• 通过对带通配符的字符串对齐进行案例分析，证明存在长度为 $5k$ 的公共子串当且仅当两个集合覆盖全集，从而建立问题间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 传递性检查问题能否在真正次二次时间内求解？若能，其最优时间复杂度为何？
• RQ2 鉴于可比图识别问题在图论中历史悠久且具有基础性作用，是否存在真正次二次算法？
• RQ3 在强指数时间假设（SETH）下，哪些二次时间可解问题与 $k$-Sat 一样困难？
• RQ4 能否将 3-Sum 或类似问题的归约与图中心性及双曲性问题的 SETH 基础难解性联系起来？
• RQ5 传递性约简、最大流或最大二分匹配等问题是否在 SETH 下也困难，或是否存在更快的算法？

主要发现

• 传递性检查问题存在真正次二次算法，时间复杂度为 $\mathcal{O}(mn^{(\omega+1)/4})$，其中 $\omega \approx 2.3727$，对稀疏图而言快于 $\mathcal{O}(n^2)$。
• 对于传递闭包稀疏的稀疏图，该算法的时间复杂度为 $\mathcal{O}(n^{5/3})$，这是目前检查此类图传递性的最快已知时间界。
• 通过结合新传递闭包算法与文献 [28] 中的先前结果，首次实现了可比图识别问题的真正次二次算法。
• 本文证明，包括中间中心性、最小接近中心性以及双曲性在内的问题，在 SETH 下与 $k$-Sat 一样困难，即除非 SETH 失效，否则不存在真正次二次算法。
• 建立了 Karp 归约框架，证明 $\textsc{TwoCovering} \leq_{ql} \textsc{Bipartite3DominatingSet}$ 与 $\textsc{BigTwoCovering} \leq_{ql} \textsc{LocalStringAlign}$，将这些问题与基于 SETH 的难解性联系起来。
• 本文在一个统一的 SETH 基础归约框架内，整合并扩展了关于分裂图直径、局部字符串对齐和正交向量检测的三项现有难解性证明。