[论文解读] Intrinsic and Apparent Singularities in Flat Differential Systems

Yirmeyahu J. Kaminski, Jean Lévine+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2017

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文提出了一种几何框架，利用无穷阶喷层空间和李-巴克lund同构，对微分平坦系统中的内在奇异点和表观奇异点进行分类。证明了内在奇异点包含一个可通过变分系统矩阵 $ P(F) $ 的超奇异点计算得出的集合，从而实现通过避开内在奇异点、穿越表观奇异点的全局运动规划，该方法在非完整车辆模型上得到验证。

ABSTRACT

In this paper, we study the singularities of locally flat systems, motivated by the solution, if it exists, of the global motion planning problem for such systems, in the spirit of \cite{CE_14}. More precisely, flat outputs may be only locally defined because of the existence of points where they are singular (a notion that will be made clear later), thus preventing from planning trajectories crossing these points. Such points are of different types. Some of them can be easily ruled out by considering another non singular flat output, defined on an open set intersecting the domain of the former one and well defined at the point in question. However, it might happen that no well-defined flat outputs exist at all at some points. We call these points \emph{intrinsic} singularities and the other ones \emph{apparent}. A rigorous defintion of these points is introduced in terms of atlas and charts in the framework of the differential geometry of jets of infinite order and Lie-Bäcklund isomorphisms (see \cite{FLMR_99,Levine-09}). We then give a criterion allowing to effectively compute intrinsic singularities. Finally, we show how our results apply to global motion planning of the well-known example of non holonomic car.

研究动机与目标

• 解决微分平坦系统中平坦输出无法全局定义时的全局运动规划挑战。
• 利用无穷阶喷层的微分几何与李-巴克lund同构，正式定义并区分内在奇异点与表观奇异点。
• 通过变分系统矩阵 $ P(F) $ 的超奇异性质，建立识别内在奇异点子集的可计算准则。
• 通过具有多个奇异点的非完整车辆模型的全局轨迹规划，展示该框架的适用性。
• 确保运动规划避开内在奇异点，同时通过李-巴克lund图册安全穿越表观奇异点。

提出的方法

• 使用局部坐标图册构造李-巴克lund图册，其中平坦输出及其逆变换非退化，从而实现不同平坦输出表示之间的坐标转换。
• 将内在奇异点定义为不属于图册中任何图的点，表观奇异点定义为位于图册中多个图交集内但不在某一给定平坦输出定义域内的点。
• 利用隐式形式 $ F(x,\dot{x}) = 0 $ 的变分系统计算矩阵 $ P(F) $，该矩阵捕捉了系统动力学的线性化。
• 识别 $ P(F) $ 具有最大秩亏损（即超奇异）的可计算点集，并证明该集合包含于内在奇异点集合中。
• 应用图册与奇异点分类方法，为非完整车辆设计全局轨迹，通过在不同路线段切换使用不同平坦输出（$ y_1, y_2, y_3 $）以避开奇异点。
• 按弧长参数化路线，再转换为时间参数化，确保控制输入平滑，避免速度或方向未定义的点。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用无穷阶喷层的微分几何，严格定义微分平坦系统中的内在奇异点与表观奇异点？
• RQ2 能否通过变分系统矩阵 $ P(F) $ 识别出一个可计算的内在奇异点子集？
• RQ3 通过穿越表观奇异点而避开内在奇异点，可在多大程度上实现全局运动规划？
• RQ4 $ P(F) $ 的超奇异性质是否能完全刻画平坦系统中的内在奇异点集合？
• RQ5 如何构建并使用李-巴克lund图册，以实现在多个平坦输出表示之间的全局轨迹规划？

主要发现

• 内在奇异点集合包含所有使得变分系统矩阵 $ P(F) $ 超奇异的点，为识别内在奇异点子集提供了可计算准则。
• 对于非完整车辆模型，内在奇异点集合包括原点及 $ \dot{x} = \dot{y} = 0 $ 的平衡点，这些点在有界控制下不可达。
• 图册构造是完备的：增加更多图不会减少内在奇异点集合，经直接计算 $ \mathcal{S}_F = \{ \dot{x} = \dot{y} = 0 \} $ 得到验证。
• 车辆轨迹成功通过多个图册，使用不同平坦输出（$ y_1, y_2, y_3 $）切换，避开内在奇异点并渐近逼近它们。
• 在路段 $ AC $ 使用平坦输出 $ y_2 $，在 $ CE $ 段使用 $ y_1 $，在 $ GK $ 段再次使用 $ y_1 $，且 $ \dot{y} = 0 $ 时达到最小值，证实了图册方法的鲁棒性。
• 该方法确保可在内在奇异点补集上实现全局轨迹规划，图册在所有系统工作状态下提供了统一一致的框架。