[论文解读] Intrinsic Approximation on Cantor-like Sets, a Problem of Mahler

Ryan Broderick, Lior Fishman+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用 12

一句话总结

本文为康托尔型集上的内在丢番图逼近建立了类狄利克雷定理，证明了此类集合中的每个点都可以被集合内的有理数以依赖于集合的豪斯多夫维数 $d$ 且对分母对数依赖的速率逼近。关键结果是一个类似于经典丢番图逼近的精确逼近函数，但已根据分形几何进行了调整，且提出了一个猜想，认为在有理数分布的假设下，该界是最优的。

ABSTRACT

In 1984, Kurt Mahler posed the following fundamental question: How well can irrationals in the Cantor set be approximated by rationals in the Cantor set? Towards development of such a theory, we prove a Dirichlet-type theorem for this intrinsic diophantine approximation on Cantor-like sets, and discuss related possible theorems/conjectures. The resulting approximation function is analogous to that for R^d, but with d being the Hausdorff dimension of the set, and logarithmic dependence on the denominator instead.

研究动机与目标

• 开发康托尔型集上内在丢番图逼近的理论，其中用于逼近的有理数被限制在集合内部。
• 回应库尔特·马勒于1984年提出的问题：无理数在康托尔集中能被同一集合中的有理数多好地逼近？
• 为康托尔型集建立类狄利克雷逼近定理，类似于经典丢番图逼近，但适配于豪斯多夫维数为 $d$ 的分形集。
• 提出一个关于分母有界的康托尔集中约化有理数数量的精确界猜想，该猜想将意味着逼近结果的最优性。
• 探讨外在逼近，即康托尔集中的点能多好地被集合外的有理数逼近，并将其与测度论性质联系起来。

提出的方法

• 将康托尔型集 $C$ 定义为 $[0,1]$ 中仅使用子集 $S \subset \{0,1,\dots,b-1\}$ 中数字的 $b$ 进制展开的数的集合，其中 $|S| = a > 1$。
• 引入 $b_0$，即大于 1 的最小整数，使得 $C$ 在映射 $x \mapsto \{b_0 x\}$ 下不变，其值通常等于 $b$，除非处于退化情形。
• 证明定理 2.1：对任意 $x \in C$ 和 $Q = b^n$，存在 $p/q \in \mathbb{Q} \cap C$ 满足 $q \leq b_0^{Q^d}$，且 $|x - p/q| < 1/(qQ)$，其中 $d = \dim C$。
• 推导推论 2.2：对所有 $x \in C$，存在无穷多个 $p/q \in C$ 满足 $|x - p/q| < 1/(q (\log_{b_0} q)^{1/d})$。
• 将 $C$ 中的有理数表征为使用 $S$ 中数字的、具有最终周期性 $b$ 进制展开的数，其分母包含 $b^{k+l} - b^k$ 的公式。
• 提出猜想 3.3：在 $[3^n, 3^{n+1})$ 范围内分母的约化有理数数量以 $O(2^{(1+\epsilon)n})$ 的速率增长，对所有 $\epsilon > 0$ 成立，该猜想得到了表 1 中数值证据的支持。

实验结果

研究问题

• RQ1 康托尔集中点通过同样位于康托尔集中的有理数进行内在丢番图逼近的最优逼近速率是什么？
• RQ2 康托尔型集的豪斯多夫维数 $d$ 如何影响内在丢番图逼近中的逼近函数？
• RQ3 能否对分母有界的康托尔型集中约化有理数的数量进行有界估计，以确认逼近结果的精确性？
• RQ4 在内在逼近下，康托尔集中“非常良好逼近点”的集合在测度论上表现出怎样的行为？
• RQ5 与内在逼近相比，外在逼近——即用集合外的有理数逼近康托尔集中的点——在测度和密度方面有何不同？

主要发现

• 本文为康托尔型集上的内在逼近建立了类狄利克雷定理，表明对任意 $x \in C$ 和 $Q = b^n$，存在 $p/q \in \mathbb{Q} \cap C$ 满足 $q \leq b_0^{Q^d}$ 且 $|x - p/q| < 1/(qQ)$。
• 推论 2.2 表明，对所有 $x \in C$，存在无穷多个 $p/q \in C$ 满足 $|x - p/q| < 1/(q (\log_{b_0} q)^{1/d})$，这将经典狄利克雷结果推广到了分形集。
• 逼近函数依赖于集合的豪斯多夫维数 $d$，并对分母表现出对数依赖性，反映了逼近目标的分形特性。
• 猜想 3.3 提出，在 $[3^n, 3^{n+1})$ 范围内分母的约化有理数数量以 $O(2^{(1+\epsilon)n})$ 的速率增长，对所有 $\epsilon > 0$ 成立，该猜想基于表 1 中的数值证据。
• 在猜想 3.3 成立的假设下，推论 3.4 证明了康托尔集中“非常良好逼近点”的集合具有 $d$-维豪斯多夫测度零，意味着康托尔集中的典型点并非“非常良好”可逼近。
• 对于外在逼近，猜想 4.1（猜想 3.3 的较弱版本）表明，康托尔集中能被集合外有理数良好逼近的点的集合具有全 $d$-维豪斯多夫测度。