[论文解读] Intrinsic capacities on compact Kähler manifolds

Vincent Guedj, Ahmed Zériahi|ArXiv.org|Jan 22, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用 17

一句话总结

本文通过引入并分析拟全纯次调和（qpsh）函数的内在容量，在紧致凯勒流形上建立了全局全纯势论。该理论确立了诸如拟连续性、与局部容量的可比较性以及不变性等关键性质，并证明了局部极值集是全局拟全纯极值集，其应用涵盖复动力系统与典型度量的研究。

ABSTRACT

We study fine properties of quasiplurisubharmonic functions on compact Kähler manifolds. We define and study several intrinsic capacities which characterize pluripolar sets and show that locally pluripolar sets are globally "quasi-pluripolar".

研究动机与目标

• 在紧致凯勒流形上建立全局全息势论，将局部理论推广至紧致情形。
• 定义并研究内在容量——特别是蒙日-安培容量与亚历山大容量——以刻画全纯极值集。
• 证明局部极值集在全局紧致设定下仍为拟全息极值集，从而连接局部与全局全息势行为。
• 为求解蒙日-安培方程及研究凯勒几何中的典型度量提供工具。
• 将该理论应用于复动力系统，并实现正电流对有理除子的逼近。

提出的方法

• 将 ω-全纯次调和（ω-psh）函数定义为满足 ω + dd^cφ ≥ 0 的全局函数 φ，将全纯次调和函数推广至紧致流形。
• 通过全局公式 $ Cap_{ ho}^*(E) = \int_X (-h_{E,\rho}^*) (\omega + dd^c h_{E,\rho}^*)^n $ 引入蒙日-安培容量 $ Cap_{\rho} $，其中 $ h_{E,\rho}^* $ 为相对极值函数。
• 利用分部积分法，在紧致流形上建立蒙日-安培算子的陈-莱文-尼伦伯格型不等式。
• 利用 $ dd^c $-引理与霍奇理论，将同调类的 (1,1)-当前表示为 ω + dd^cφ，从而实现全局分析。
• 应用奥沙瓦-竹下 $ L^2 $-延拓定理，构造 qpsh 函数的几乎次可加光滑逼近序列。
• 通过伯格曼空间与截面的正交基构造光滑、递减逼近 $ \varphi_j \in PSH(X, A\omega) \cap \mathcal{C}^\infty(X) $，使其收敛于任意给定的 $ \varphi \in PSH(X,\omega) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在紧致凯勒流形上定义并表征内在容量，以捕捉全息极值集？
• RQ2 在全局紧致设定下，局部极值集在多大程度上仍保持为极值集？
• RQ3 能否构造出具有受控收敛性与曲率界约束的 ω-psh 函数的光滑逼近？
• RQ4 全局容量与 Bedford-Taylor 理论中的局部对应容量之间有何比较关系？
• RQ5 当 $ X = \mathbb{C}\mathbb{P}^n $ 且 $ \omega $ 为法布尼-施蒂迪形式时，亚历山大容量 $ T_\omega $ 的几何解释是什么？

主要发现

• 蒙日-安培容量 $ Cap_{\omega} $ 与局部 Bedford-Taylor 容量可比较，并满足全纯自同构下的不变性。
• 拟全息极值集被表征为 $ Cap_{\omega} $-容量为零的集合，且 ω-psh 函数关于 $ Cap_{\omega} $ 满足拟连续性。
• 在紧致凯勒流形上，局部极值集为全局拟全息极值集，将约瑟夫森定理推广至全局设定。
• 对任意 $ \varphi \in PSH(X,\omega) $，存在一递减序列 $ \varphi_j \in PSH(X, A\omega) \cap \mathcal{C}^\infty(X) $，在 $ L^1(X) $ 中收敛于 $ \varphi $，其中 $ A \geq 1 $ 仅依赖于流形。
• 当 $ X = \mathbb{C}\mathbb{P}^n $ 且 $ \omega $ 为法布尼-施蒂迪形式时，亚历山大容量 $ T_\omega $ 可通过切比雪夫常数与射影几何获得几何解释。
• 由于紧致流形无边界，该全局理论使得陈-莱文-尼伦伯格不等式的证明变得极为直观。