[论文解读] Intrinsic Chern-Connes Characters for Crossed Products by $\mathbb Z^d$

Emil Prodan|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文通过将标准希尔伯特 $\mathcal{A}$-模 $\mathcal{H}_{\mathcal{A}}$ 上的有界可伴算子 $C^\ast$-代数的典范嵌入，引入了 $\mathbb{Z}^d$ 半直积的内在陈-孔内斯示性类。通过定义广义弗雷德霍姆算子和 $\widehat{\mathcal{T}}$-指标，作者推导出一个局部指标公式，表明该示性类与 $K_0(\mathcal{A}\rtimes_{\xi}\mathbb{Z}^d)$ 的配对属于 $K_0(\mathcal{A})$ 在 $\widehat{\mathcal{T}}$ 下的像，从而为凝聚 matter 物理中的拓扑相提供了应用。

ABSTRACT

We present a natural imbedding of the crossed product $\mathcal A times_ξ\mathbb Z^d$ into the $C^\ast$-algebra of adjointable operators over the standard Hilbert $\mathcal A$-module $\mathcal H_{\mathcal A}$. By replacing the representations on Hilbert spaces with this canonical imbedding, we define Fredholm modules and corresponding Chern-Connes characters that are intrinsic to the $C^\ast$-dynamical system $(\mathcal A,ξ,\mathbb Z^d)$. The compression of the Dirac operator against projectors from $\mathcal A times_ξ\mathbb Z^d$ produces generalized Fredholm operators over $\mathcal H_{\mathcal A}$ and Mingo's index defines a $KK$-map from $K_0(\mathcal A times_ξ\mathbb Z^d)$ to $K(\mathcal A)$. Using a generalized Fedosov principle and a generalized Fedosov formula, we prove an index formula for the pairing of the intrinsic Chern-Connes characters and $K_0(\mathcal A times_ξ\mathbb Z^d)$. This pairing takes values in the image of $K_0(\mathcal A)$ in $\mathbb R$ under a canonical trace. A local index formula enables new applications in condensed matter physics to the so called weak topological invariants.

研究动机与目标

• 为克服现有陈-孔内斯示性类理论在 $\mathbb{Z}^d$ 半直积上的局限性，特别是其对交换 $\mathcal{A}$ 的限制以及排除分数拓扑相的整数配对。
• 从 $C^\ast$-动力系统 $(\mathcal{A}, \xi, \mathbb{Z}^d)$ 直接建立弗雷德霍姆模和陈-孔内斯示性类的内在、表示无关的公式。
• 将弗多索夫原理和指标公式推广至非交换设置，实现对无序量子材料中输运系数的计算。
• 建立适用于非迹类胞腔的局部指标公式，突破标准希尔伯特空间表示的范围。
• 将陈-孔内斯示性类的配对与 $K_0(\mathcal{A})$ 在下半连续迹 $\widehat{\mathcal{T}}$ 下的像联系起来，为可测量输运系数提供预测。

提出的方法

• 将 $\mathcal{A}\rtimes_{\xi}\mathbb{Z}^d$ 通过典范嵌入到标准希尔伯特 $\mathcal{A}$-模 $\mathcal{H}_{\mathcal{A}}$ 上的有界可伴算子 $C^\ast$-代数中。
• 通过 $\mathbb{Z}^d$ 的作用和与克利福德代数的张量积，在 $\mathcal{H}_{\mathcal{A}}$ 上定义一个狄拉克算子。
• 在 $\mathcal{H}_{\mathcal{A}}$ 上引入广义弗雷德霍姆算子，并利用明戈的 $KK$-理论指标为 $C^\ast$-模定义 $\widehat{\mathcal{T}}$-指标。
• 直接从动力系统构造内在弗雷德霍姆模和陈-孔内斯示性类，避免使用希尔伯特空间表示。
• 通过非交换微分微分几何推导局部指标公式，将示性类表达为涉及导数和迹 $\mathcal{T}$ 的循环胞腔。
• 将该框架应用于 $C(\Omega)\otimes M_Q(\mathbb{C})\rtimes_{\xi}\mathbb{Z}^3$，将电导率张量 $\sigma_{12}$ 识别为落入 $\widehat{\mathcal{T}}(K_0(\mathcal{A}))$ 的配对。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖希尔伯特空间表示的前提下，为 $\mathbb{Z}^d$ 半直积定义内在陈-孔内斯示性类？
• RQ2 陈-孔内斯示性类与 $K_0(\mathcal{A}\rtimes_{\xi}\mathbb{Z}^d)$ 的配对如何用 $K_0(\mathcal{A})$ 表征？
• RQ3 在配对中替代标准指标的 $\mathcal{H}_{\mathcal{A}}$ 上广义弗雷德霍姆算子的结构是什么？
• RQ4 能否推导出即使胞腔在标准表示下非迹类也适用的局部指标公式？
• RQ5 $\widehat{\mathcal{T}}$-指标对无序拓扑材料中输运系数的物理意义是什么？

主要发现

• 陈-孔内斯示性类与 $K_0(\mathcal{A}\rtimes_{\xi}\mathbb{Z}^d)$ 的配对取值于 $K_0(\mathcal{A})$ 在迹 $\widehat{\mathcal{T}}$ 下的像，解决了先前方法的关键局限。
• 三维拓扑绝缘体的线性电导率张量 $\sigma_{12}$ 落在 $\widehat{\mathcal{T}}(K_0(C(\Omega)\rtimes_{\xi_3}\mathbb{Z}))$ 中，预测其取离散、可测量的值。
• 推导出如下形式的局部指标公式：$\tau_d(\bm{a}_0,\ldots,\bm{a}_d) = \Lambda_d \sum_{\rho \in S_d} (-1)^\rho \mathcal{T}\{\bm{a}_0 \partial_{\rho_1}\bm{a}_1 \cdots \partial_{\rho_d}\bm{a}_d\}$，适用于非交换半直积。
• 该框架使在谱隙关闭但纯点谱仍保持的强无序区域中计算输运系数成为可能。
• 在 $\mathcal{H}_{\mathcal{A}}$ 上的广义弗雷德霍姆算子允许使用明戈的指标，从而提供从 $K_0(\mathcal{A}\rtimes_{\xi}\mathbb{Z}^d)$ 到 $K_0(\mathcal{A})$ 的 $KK$-映射。
• 该方法将康奈斯-莫斯科维奇局部指标公式扩展至非交换索伯列夫空间和具有非迹类胞腔的 $\mathbb{Z}^d$-半直积。