[论文解读] Intrinsic ergodicity for certain nonhyperbolic robustly transitive systems

Jérôme Buzzi, Todd Fisher|ArXiv.org|Mar 21, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文为通过 Mañé 例子构造的 d 维环面（d ≥ 3）上的一类非双曲的、鲁棒遍历的微分同胚建立了内在遍历性。通过证明在某个开邻域内的每个微分同胚都具有唯一最大熵测度，且该测度同构于线性 Anosov 因子的测度，作者表明尽管系统缺乏一致双曲性或结构稳定性，其拓扑熵仍是局部常数，系统是内在遍历的。

ABSTRACT

We show that a class of robustly transitive diffeomorphisms originally described by Mañé are intrinsically ergodic. More precisely we obtain an open set of diffeomorphisms which fail to be uniformly hyperbolic, but nevertheless have constant entropy and isomorphic unique measures of maximal entropy.

研究动机与目标

• 确定不具有一致双曲性或结构稳定性的鲁棒遍历微分同胚是否仍可具有内在遍历性。
• 通过证明唯一最大熵测度在 C¹ 拓扑下连续变化，将内在稳定性的概念推广至非 Anosov 系统。
• 分析具有非平凡中心动力学的环面上强部分双曲微分同胚的熵结构。
• 解决在三维情形下，给定部分双曲性为必要条件时，鲁棒遍历系统是否具有内在遍历性的问题。

提出的方法

• 构造一个 Mañé 型微分同胚 f₀ 在 𝕋^d（d ≥ 3）上的 C¹ 开邻域 U，使得对每个 g ∈ U，g 均为强部分双曲且鲁棒遍历。
• 定义从 g 到线性 Anosov 映射 f_A 的半共轭 π_g，该映射因子化动力系统并满足 h_top(g) = h_top(f_A)。
• 利用中心叶状结构的有界曲率与正规双曲性，证明对 μ-几乎处处 x ∈ 𝕋^d，π_g^{-1}(x) 是长度一致有界的紧区间。
• 证明对所有 x，纤维熵 h(g, π_g^{-1}(x)) = 0，从而通过 Bowen 不等式得出 h_top(g) = h_top(f_A)。
• 利用 Ledrappier-Walters 熵分解，证明任意最大熵测度 ν 的 π_g 下投影必等于 f_A 的唯一最大熵测度 μ。
• 通过证明中心扩张/收缩率满足 (λ_c − γ)^{1−m−σ}(b(f) − γ)^{2m+σ} > 1，表明 π_g 几乎处处为单射，从而迫使原像集几乎处处为单点集。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可为不具有一致双曲性的鲁棒遍历微分同胚建立内在遍历性？
• RQ2 在非 Anosov 鲁棒遍历系统的一个 C¹ 邻域内，拓扑熵是否为局部常数？
• RQ3 在小的 C¹ 逼近下，此类系统是否仍保持唯一最大熵测度的存在性？
• RQ4 非双曲鲁棒遍历系统的动力是否可通过 Anosov 系统因子化，同时保持熵与测度论结构？

主要发现

• 存在一个非空开集 U ⊂ Diff^1(𝕋^d)（d ≥ 3），使得对所有 f ∈ U，f 均为强部分双曲、鲁棒遍历且内在稳定。
• U 中任意 f 均非 Anosov 也非结构稳定，表明内在遍历性可在缺乏一致双曲性的情况下出现。
• 在 U 上拓扑熵为常数，对所有 f ∈ U 有 h_top(f) = h_top(f_A)，其中 f_A 为线性 Anosov 映射。
• 每个 f ∈ U 均有唯一最大熵测度 μ_f，且 μ_f 沿半共轭 π_f 的下投影等于 f_A 的唯一最大熵测度 μ。
• 半共轭 π_f 几乎处处为单射，意味着 μ_f 是 f 的唯一最大熵测度。
• 关键动力条件 (λ_c − γ)^{1−m−σ}(b(f) − γ)^{2m+σ} > 1 确保 π_f 的原像集几乎处处为单点集，从而强制最大熵测度的唯一性。