[论文解读] Intrinsic flat convergence with bounded Ricci curvature

Michael Munn|arXiv (Cornell University)|May 13, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 6

一句话总结

该论文证明了对于具有统一有界里奇曲率、直径和非退化体积的定向黎曼流形序列，内在平坦极限与格罗莫夫-豪斯多夫极限一致。通过避免依赖格罗莫夫的填充半径，转而利用极限空间中正则点处的体积收敛性，作者证明在内在平坦极限中不会发生抵消现象，从而确保极限当前空间完整支持格罗莫夫-豪斯多夫极限空间。

ABSTRACT

In this paper we address the relationship between Gromov-Hausdorff limits and intrinsic flat limits of complete Riemannian manifolds. In \cite{SormaniWenger2010, SormaniWenger2011}, Sormani-Wenger show that for a sequence of Riemannian manifolds with nonnegative Ricci curvature, a uniform upper bound on diameter, and non-collapsed volume, the intrinsic flat limit exists and agrees with the Gromov-Hausdorff limit. This can be viewed as a non-cancellation theorem showing that for such sequences, points don't cancel each other out in the limit. Here we prove a similar no-cancellation theorem, replacing the assumption of nonnegative Ricci curvature with a two-sided bound on Ricci curvature. This version corrects a mistake in the previous version of this paper (where we assume only an arbitrary lower Ricci bound) which was due to a crucial error in one of our supporting theorems for that argument.

研究动机与目标

• 将索尔曼-惠勒的非抵消定理由非负里奇曲率推广至双侧有界里奇曲率。
• 在里奇曲率有界的前提下，建立内在平坦极限与格罗莫夫-豪斯多夫极限一致的条件。
• 提出一种新证明策略，避免使用格罗莫夫的填充半径与填充体积。
• 证明极限空间中正则点处的体积收敛性可控制内在平坦意义下距离球的大小。
• 证明极限空间是可求长的，且完整支持格罗莫夫-豪斯多夫极限空间的结构。

提出的方法

• 通过结合格罗莫夫-豪斯多夫收敛性与极限空间中正则点处的体积收敛性，控制内在平坦意义下距离球的大小。
• 分析流形中缩放后的距离球与欧氏空间中标准球之间的内在平坦距离。
• 该论证涉及构造一个半径序列，并利用内在平坦距离的三角不等式推导出一致有界性。
• 通过反证法：假设距离球在内在平坦意义下不收敛于原点，从而导出收敛失败的半径集合的测度下界。
• 该方法依赖于极限空间中正则集的稠密性，并利用正则点具有正密度且在小球内占据全体积的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 当里奇曲率同时有上界和下界（而不仅仅是非负）时，内在平坦极限是否仍与格罗莫夫-豪斯多夫极限一致？
• RQ2 是否可以在不依赖填充半径的前提下，将非抵消定理推广至非负里奇曲率之外？
• RQ3 正则点处的体积收敛性在控制内在平坦收敛性中起到何种作用？
• RQ4 是否可能避免使用格罗莫夫的填充体积来证明内在平坦极限的非抵消定理？
• RQ5 在里奇曲率有界条件下，极限空间的结构与距离球的几何之间有何关系？

主要发现

• 对于满足 |Ric| ≤ (n−1)H、diam ≤ D 且 vol ≥ v₀ > 0 的定向黎曼流形序列，其内在平坦极限与格罗莫夫-豪斯多夫极限一致。
• 极限空间是 Hⁿ-可求长的，将切赫-科林德的可求长性结果推广至更广泛的流形类。
• 内在平坦极限中不发生抵消：极限当前空间的支撑集与格罗莫夫-豪斯多夫极限空间完全一致。
• 该证明避免使用格罗莫夫的填充半径与填充体积，转而依赖正则点处的体积收敛性与缩放论证。
• 对任意 ε > 0，存在 N，使得对所有 j > N 且 r < N⁻¹，缩放后距离球与标准球之间的内在平坦距离小于 ε。
• 在内在平坦意义下距离球不收敛于原点的半径 r 的测度下界为 min{N⁻¹, δ} > 0，与收敛性矛盾，从而证明结论。