[论文解读] Intrinsic flat stability of the positive mass theorem for graphical hypersurfaces of Euclidean space

Lan-Hsuan Huang, Dan A. Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文建立了欧氏空间中图超曲面的正质量定理的内在平坦稳定性，证明了若一列具有非负标量曲率的此类超曲面的ADM质量趋于零，则相应的带基点度量球在内在平坦意义下收敛于欧氏空间。该结果在图的几何结构与渐近行为满足技术条件时成立。

ABSTRACT

The rigidity of the Positive Mass Theorem states that the only complete asymptotically flat manifold of nonnegative scalar curvature and zero mass is Euclidean space. We study the stability of this statement for spaces that can be realized as graphical hypersurfaces in Euclidean space. We prove (under certain technical hypotheses) that if a sequence of complete asymptotically flat graphs of nonnegative scalar curvature has mass approaching zero, then the sequence must converge to Euclidean space in the pointed intrinsic flat sense. The appendix includes a new Gromov-Hausdorff and intrinsic flat compactness theorem for sequences of metric spaces with uniform Lipschitz bounds on their metrics.

研究动机与目标

• 研究欧氏空间中图超曲面背景下正质量定理的稳定性。
• 确定具有非负标量曲率且ADM质量趋于零的图超曲面序列是否在几何意义上收敛于欧氏空间。
• 在内在平坦拓扑下建立收敛性，该拓扑适用于处理可能在质量衰减过程中持续存在的细长区域和小体积结构。
• 将已知的刚性结果（零质量蕴含欧氏空间）推广为内在平坦收敛下的定量稳定性陈述。
• 为比以往更广泛的流形类提供稳定性结果，具体而言是图超曲面，而不仅限于旋转对称情形。

提出的方法

• 利用内在平坦距离 $ d_{\frak{F}} $，通过积分电流与Ambrosio-Kirchheim理论定义，以度量带边界的黎曼流形之间的收敛性。
• 对图超曲面施加技术性条件，包括度量的统一利普希茨有界性以及渐近衰减的控制，以确保几何控制。
• 应用附录中开发的新紧致性定理，适用于具有统一利普希茨有界度量的度量空间序列。
• 从两个具有度量 $ d_j $ 和 $ d_\text{infty} $ 的图副本构造度量空间 $ Z_j $，并定义新度量 $ d_j' $ 以分析收敛性。
• 使用 $ d_{-+} $ 和 $ d_{+-} $ 伪度量比较不同度量下的点，建立新度量 $ d_j' $ 的三角不等式。
• 分析所构造空间 $ Z_j $ 中的柯西序列，表明一般情况下完备性不成立，并构造度量完备化 $ \bar{Z}_j $ 以确保收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将正质量定理的刚性结果扩展为 $ \mathbb{E}^{n+1} $ 中图超曲面的稳定性陈述？
• RQ2 一列具有非负标量曲率且ADM质量趋于零的完备、渐近平坦图超曲面是否在内在平坦拓扑下收敛于欧氏空间？
• RQ3 在曲率可能在细长区域中较大的情况下，需要哪些几何与分析条件才能确保内在平坦收敛？
• RQ4 在此设置下，内在平坦距离与其它收敛概念（如Gromov-Hausdorff或光滑收敛）相比如何？
• RQ5 能否利用具有统一利普希茨有界度量的度量空间序列的紧致性定理来证明内在平坦收敛？

主要发现

• 若一列 $ \mathbb{E}^{n+1} $ 中的完备、渐近平坦图超曲面具有非负标量曲率且ADM质量趋于零，则其带基点度量球在内在平坦意义下收敛于欧氏空间。
• 该收敛性对几乎所有半径 $ D > 0 $ 成立，即当 $ j \to \infty $ 时，有 $ d_{\mathcal{F}}(B_{p_j}(D) \subset M_j, B_0(D) \subset \mathbb{E}^n) \to 0 $。
• 该结果在技术假设下成立，包括度量的统一利普希茨有界性以及无穷远处的受控衰减。
• 本文从同一基集上的两种度量构造了新的度量空间 $ Z_j $，并证明了诱导度量 $ d_j' $ 是一个合法度量，从而支持了收敛性分析。
• 提供了一个反例，表明即使原始度量是完备的，$ Z_j $ 的完备性一般也不成立，且明确描述了度量完备化 $ \bar{Z}_j $。
• 附录中建立了关于具有统一利普希茨有界度量的度量空间序列的新紧致性定理，该定理在证明主要稳定性结果中起关键作用。