[论文解读] Intrinsic knotting and linking of almost complete graphs

Jesse Campbell, Thomas W. Mattman+4 more|ArXiv.org|Jan 15, 2007

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文建立了图中固有扭结与固有链接的新充分条件：当 $ n \geq 7 $ 个顶点且边数至少为 $ 5n - 14 $ 时，图是固有扭结的；当 $ n \geq 6 $ 个顶点且边数至少为 $ 4n - 9 $ 时，图是固有链接的。关键贡献在于通过极小化包含关系证明了这些界限——具体而言，此类图分别包含 $ K_7 $ 或 $ K_6 $ 作为极小化子。

ABSTRACT

We introduce new sufficient conditions for intrinsic knotting and linking. A graph on n vertices with at least 4n-9 edges is intrinsically linked. A graph on n vertices with at least 5n-14 edges is intrinsically knotted. We also classify graphs that are 0, 1, or 2 edges short of being complete partite graphs with respect to intrinsic linking and intrinsic knotting. In addition, we classify intrinsic knotting of graphs on 8 vertices.

研究动机与目标

• 基于边数与顶点数，建立图中固有扭结与固有链接的新充分条件。
• 对与完全图或完全多部图相比缺少0、1或2条边的图进行分类，以确定其是否具有固有扭结或固有链接性质。
• 完全分类8个顶点的所有固有扭结图，提供其在极小化子等价关系下的完整列表。
• 证明：在 $ n \geq 7 $ 个顶点上具有 $ 5n - 14 $ 条边的图包含 $ K_7 $ 作为极小化子，而具有 $ 4n - 9 $ 条边的图包含 $ K_6 $ 作为极小化子，从而蕴含固有扭结或固有链接。

提出的方法

• 通过顶点数的归纳法，证明在 $ n \geq 6 $ 个顶点上具有 $ 4n - 9 $ 条边的图包含 $ K_6 $ 作为极小化子。
• 应用边收缩与顶点删除操作以简化图，并利用关于 $ K_6 $ 和 $ K_7 $ 具有固有链接与固有扭结性质的已知结果。
• 通过分析从完全图与完全多部图（特别是 $ K_{n} $、$ K_{3,3,1,1} $ 与 $ K_{4,3,1} $）中移除边的情况，对 $ k $-缺边图（$ k = 0,1,2 $）进行分类。
• 利用极小化子与拓扑极小化子关系来判断固有扭结与固有链接，依赖于若图包含一个固有扭结或固有链接的极小化子，则其本身也具有该性质的事实。
• 对从 $ K_8 $ 中移除1至7条边所得的子图进行详尽枚举与分类，通过极小化子包含关系与结构分析识别出哪些图是固有扭结的。
• 利用关于 $ K_7 $ 与 $ H_8 $（由 $ K_7 $ 经三角形-星形变换得到）的极小化子最小性的已知结果，识别出8个顶点上所有固有扭结图。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ n $ 个顶点上，保证图具有固有扭结性质所需的最少边数是多少？
• RQ2 在 $ n $ 个顶点上，保证图具有固有链接性质所需的最少边数是多少？
• RQ3 与完全图或完全多部图相比缺少一条或两条边的图中，哪些图是固有扭结或固有链接的？
• RQ4 8个顶点上所有固有扭结图的完整分类是什么？
• RQ5 在 $ n \geq 7 $ 个顶点上具有 $ 5n - 14 $ 条边的图是否必然包含 $ K_7 $ 作为极小化子？类似地，具有 $ 4n - 9 $ 条边的图是否必然包含 $ K_6 $ 作为极小化子？

主要发现

• 在 $ n \geq 7 $ 个顶点上且边数至少为 $ 5n - 14 $ 的图是固有扭结的，因为其包含 $ K_7 $ 作为极小化子。
• 在 $ n \geq 6 $ 个顶点上且边数至少为 $ 4n - 9 $ 的图是固有链接的，因为其包含 $ K_6 $ 作为极小化子。
• 8个顶点上所有20个固有扭结图均已分类，其中12个是 $ K_8 - 5e $ 的极小化子，其余8个通过顶点分裂从 $ K_7 $ 或 $ H_8 $ 得到。
• 对2-缺边图（即比完全图或完全多部图缺少两条边的图）的分类表明，固有链接与固有扭结性质取决于缺失边的结构，特别是这些边是否共享顶点。
• 在 $ K_8 - 5e $ 图中，仅有四个是固有扭结的，其特征可通过其补图或是否包含 $ K_7 $ 作为极小化子来刻画。
• 从 $ K_8 $ 中移除8条或更多边的图不是固有扭结的，因为它们是未扭结的 $ K_8 - 7e $ 图的极小化子，而8个顶点上唯一的固有扭结图是那些至多移除7条边的图。