[论文解读] Intrinsic knotting and linking of almost complete partite graphs

Thomas W. Mattman, Ryan Ottman+1 more|ArXiv.org|Dec 9, 2003

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文对0-、1-和2-缺省的完全图及完全多部图中的固有扭结与固有链接进行了分类，并完全刻画了8个顶点的所有固有扭结图。它验证了亚当斯猜想——从一个固有扭结图中移除任意顶点后，会得到一个固有链接图——对于这些图族成立，尽管在13个缺省处存在已知反例，但该猜想在最多8个顶点的所有此类图中均成立。

ABSTRACT

We classify graphs that are 0, 1, or 2 edges short of being complete partite graphs with respect to intrinsic linking and intrinsic knotting. In addition, we classify intrinsic knotting of graphs on 8 vertices. For graphs in these families, we verify a conjecture presented in Adams' "The Knot Book": If a vertex is removed from an intrinsically knotted graph, one obtains an intrinsically linked graph.

研究动机与目标

• 对距离完全图或完全多部图仅缺0、1或2条边的图中的固有扭结与固有链接进行分类。
• 确定亚当斯猜想（即从一个固有扭结图中移除一个顶点会得到一个固有链接图）是否适用于这些图族。
• 完全枚举并刻画所有8个顶点的固有扭结图。
• 研究是否存在边数超过5n−15的图但并非固有扭结图，将萨克斯的问题扩展到固有扭结的语境。

提出的方法

• 使用极小化理论和图运算（如三角形-星形变换）系统分析0-、1-和2-缺省的完全图及完全多部图。
• 以已知的极小化固有扭结图（如$K_7$和$K_{3,3,1,1}$）作为分类的参考点。
• 通过边删除和顶点移除操作，测试子图的固有链接与扭结性质。
• 利用$K_7$和$H_8$为极小化固有扭结图的性质，在最多删除8条边的$K_8$中识别扭结子图。
• 为$K_8 - ke$构造补图，以识别扭结构型，特别是当$k = 5,6,7$时。
• 通过检查从每个扭结图中移除顶点后是否产生一个固有链接的极小化子图或子图，来验证亚当斯猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些0-、1-或2-缺省的完全图或完全多部图是固有扭结或固有链接的？
• RQ2 亚当斯猜想——即从一个固有扭结图中移除一个顶点会得到一个固有链接图——是否对所有这些0-、1-和2-缺省图族均成立？
• RQ3 在8个顶点上，有多少个固有扭结图？它们是否都满足亚当斯猜想？
• RQ4 是否存在一个$n$个顶点的图，它不是固有扭结图，但边数超过$5n - 15$，其中$n > 8$？
• RQ5 对于$n > 8$，能否将非固有扭结图的边数上限$5n - 15$扩展到更大的$n$？

主要发现

• 在8个顶点上恰好存在二十个固有扭结图，且它们全部满足亚当斯猜想。
• 所有在0-、1-和2-缺省下为固有扭结的完全图和完全多部图，在移除任一顶点后也都是固有链接的，从而证实了亚当斯猜想在这些图族中成立。
• 在0-、1-或2-缺省图族或8个顶点的图中，未发现新的极小化固有扭结图，所有结果均与已知的$K_7$和$K_{3,3,1,1}$示例一致。
• $H_8$和$K_7$附加一个顶点的图均为固有扭结且为极小化图，从任一图中移除一个顶点后，均会产生一个固有链接图。
• 对于$5 \leq n \leq 8$，任何边数超过$5n - 15$的图都是固有扭结图，提示可能存在固有扭结的临界阈值。
• 所有$K_8 - ke$图在移除$k \geq 8$条边后均不是固有扭结图，从而确认8个顶点上仅有这20个扭结图。