[论文解读] Intrinsic spin requires gravity with torsion and curvature

Nikodem J. Popławski|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2013

Cosmology and Gravitation Theories被引用 8

一句话总结

本文主张，物质中的本征自旋要求引力理论同时具备曲率与挠率，特别是爱因斯坦-嘉当-西阿马-基布尔（ECSK）理论。通过在度量-仿射形式中将 tetrad 与自旋连接视为独立变量，该理论正确地守恒了总角动量（轨道角动量加自旋），而尽管与广义相对论在几何上相似，规范引力理论——因其曲率为零且自旋耦合非最小——却无法守恒角动量，因此对自旋物质而言是不物理的。

ABSTRACT

We show that the intrinsic angular momentum of matter in curved spacetime requires the metric-affine formulation of gravity, in which the antisymmetric part of the affine connection (the torsion tensor) is not constrained to be zero but is a variable in the principle of stationary action. Regarding the tetrad and spin connection (or the metric and torsion tensors) as independent variables gives the correct generalization of the conservation law for the total (orbital plus intrinsic) angular momentum to the presence of the gravitational field. The metric-affine formulation extends general relativity to the simplest theory of gravity with intrinsic spin: the Einstein-Cartan-Sciama-Kibble theory. We also show that teleparallel gravity, which constrains the connection by setting the curvature tensor to zero, is inconsistent with the conservation of the total angular momentum.

研究动机与目标

• 确立物质中的本征自旋要求引力理论同时具备曲率与挠率。
• 证明在度量-仿射引力形式中，将 tetrad 与自旋连接视为独立变量，是守恒总角动量（轨道角动量加自旋）所必需的。
• 表明规范引力理论（其曲率设为零）与自旋场的角动量守恒不一致。
• 论证诸如度量 f(R) 引力与规范 f(T) 引力的理论在结构上与本征自旋不相容，因此在早期宇宙中不物理。

提出的方法

• 使用度量-仿射方法构建引力理论，将 tetrad 与自旋连接视为独立的动力学变量。
• 在弯曲时空中的洛伦兹对称性下推导 Noether 电流，从而得到包含轨道与本征自旋贡献的守恒总角动量密度。
• 从物质拉格朗日量导出规范自旋密度，并通过 Cartan 结构方程将其耦合至仿射联络。
• 对包含引力与物质部分的完整作用量应用最小作用量原理，推导出包含自旋密度引起的挠率的场方程。
• 将所得理论（ECSK）与规范引力进行比较，表明后者强制曲率为零，导致角动量守恒不一致。
• 分析狄拉克场情形下的场方程与能量-动量张量，表明自旋产生非线性项，并在宇宙学中导致无奇点的尖点反弹。

实验结果

研究问题

• RQ1 物质中的本征自旋是否要求引力理论中的时空同时具有曲率与挠率？
• RQ2 在包含自旋物质的一般协变引力理论中，总角动量（轨道角动量加自旋）能否一致守恒？
• RQ3 为何规范引力理论尽管在真空中与广义相对论形式等价，却与费米子物质的角动量守恒不一致？
• RQ4 爱因斯坦-嘉当-西阿马-基布尔理论中通过挠率引入自旋，如何影响宇宙学奇点？
• RQ5 当应用于具有本征自旋的系统时，无曲率理论（如规范引力与 f(T) 引力）在结构上存在哪些限制？

主要发现

• 在存在本征自旋时，必须采用将 tetrad 与自旋连接视为独立变量的度量-仿射引力形式，才能正确守恒总角动量。
• 爱因斯坦-嘉当-西阿马-基布尔（ECSK）理论——同时包含曲率与挠率——是唯一能纳入本征自旋的最简一致引力理论。
• 规范引力理论（将曲率张量设为零，使用 Weitzenböck 连接）无法守恒角动量，因其自旋耦合非最小，且破坏了洛伦兹对称性 Noether 电流的一致性。
• 狄拉克场的自旋密度产生完全反对称的挠率张量，导致含立方自相互作用项的非线性狄拉克方程。
• 由此产生的宇宙学模型在有限最小尺度因子处通过类似尖点的反弹避免了大爆炸奇点，无需暴胀即可解释观测到的大尺度均匀性与各向同性。
• 诸如度量 f(R) 引力与规范 f(T) 引力的理论在结构上与本征自旋不相容，因此无法描述自旋密度显著的早期宇宙。