[论文解读] Intrinsic volumes of Sobolev balls

Zakhar Kabluchko, Dmitry Zaporozhets|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 12被引用 2

一句话总结

本文利用Sudakov公式计算了希尔伯特空间中无限维Sobolev型球的固有体积，将其与高斯过程联系起来。推导出[0,1]上Lipschitz函数与积分为零函数的第k个固有体积的精确公式，并将其应用于计算由布朗运动和桥生成的凸包与zonoid的期望体积，为Eldan的结果提供了新证明，并将其推广至布朗桥。

ABSTRACT

A formula due to Sudakov relates the first intrinsic volume of a convex set in a Hilbert space to the maximum of the isonormal Gaussian process over this set. Using this formula we compute the first intrinsic volumes of infinite-dimensional convex compact sets including unit balls with respect to Sobolev-type seminorms and ellipsoids in the Hilbert space. We relate the distribution of the random one-dimensional projections of these sets to the distributions $S_1,S_2,C_1,C_2$ studied by Biane, Pitman, Yor [Bull. AMS 38 (2001)]. We show that the $k$-th intrinsic volume of the set of all functions on $[0,1]$ which have Lipschitz constant bounded by $1$ and which vanish at $0$ (respectively, which have vanishing integral) is given by $$ V_k = \frac{\pi^{k/2}}{\Gamma\left(\frac 32 k +1 ight)}, ext{ respectively } V_k = \frac{\pi^{(k+1)/2}}{2\Gamma\left(\frac 32 k +\frac 32 ight)}. $$ This is related to the results of Gao and Vitale [Discrete Comput. Geom. 26 (2001), Elect. Comm. Probab. 8 (2003)] who considered a similar question for functions with a restriction on the total variation instead of the Lipschitz constant. Using the results of Gao and Vitale we give a new proof of the formula for the expected volume of the convex hull of the $d$-dimensional Brownian motion which is due to Eldan [Elect. J. Probab., to appear]. Additionally, we prove an analogue of Eldan's result for the Brownian bridge. Similarly, we show that the results on the intrinsic volumes of the Lipschitz balls can be translated into formulae for the expected volumes of zonoids (Aumann integrals) generated by the Brownian motion and the Brownian bridge. Also, these results have discrete versions for Gaussian random walks and bridges. Our proofs exploit Sudakov's and Tsirelson's theorems which establish a connection between the intrinsic volumes and the isonormal Gaussian process.

研究动机与目标

• 计算由Sobolev型半范数定义的无限维凸紧集的固有体积。
• 将这些集合的一维投影分布与Biane-Pitman-Yor分布S₁、S₂、C₁、C₂联系起来。
• 推导出[0,1]上Lipschitz函数与积分为零函数空间的第k个固有体积的显式公式。
• 将这些结果应用于计算由布朗运动和布朗桥生成的凸包与zonoid的期望体积。
• 为Eldan关于d维布朗运动凸包期望体积的公式提供新证明，并将其推广至布朗桥。

提出的方法

• 利用Sudakov公式，将希尔伯特空间中凸集的第一固有体积与该集合上同分布高斯过程的最大值联系起来。
• 应用Tsirelson定理，将固有体积与高斯过程的分布性质联系起来。
• 使用同分布高斯过程分析投影，并推导Sobolev球的体积公式。
• 利用伽马函数恒等式，推导出Lipschitz函数集与积分为零函数集的第k个固有体积的精确表达式。
• 将固有体积结果转化为布朗运动与桥路径的zonoid（Aumann积分）的期望体积公式。
• 通过类似的体积计算，将框架扩展至离散情形，包括高斯随机游动与桥。

实验结果

研究问题

• RQ1 在[0,1]上具有有界Lipschitz常数的Sobolev空间单位球的固有体积是什么？
• RQ2 积分为零的函数集合的固有体积与有界Lipschitz常数函数集合的固有体积有何关系？
• RQ3 能否利用同分布高斯过程与Sudakov公式计算Sobolev型球的固有体积？
• RQ4 d维布朗运动凸包的期望体积是多少？能否通过固有体积方法重新推导该公式？
• RQ5 由布朗桥生成的zonoid的期望体积是多少？与布朗运动情形相比有何异同？

主要发现

• 在[0,1]上且在0处为零的1-Lipschitz函数集合的第k个固有体积为 $ V_k = \frac{\pi^{k/2}}{\Gamma\left(\frac{3}{2}k + 1\right)} $。
• 在[0,1]上积分为零且Lipschitz常数有界的函数集合的第k个固有体积为 $ V_k = \frac{\pi^{(k+1)/2}}{2\Gamma\left(\frac{3}{2}k + \frac{3}{2}\right)} $。
• 这些Sobolev球的一维投影分布与Biane-Pitman-Yor分布S₁、S₂、C₁、C₂一致。
• 结果为Eldan关于d维布朗运动凸包期望体积的公式提供了新证明。
• 为由布朗桥生成的zonoid的期望体积推导出类似公式，扩展了先前结果。
• 建立了高斯随机游动与桥的离散类比，表明在有限维下具有相同的体积标度行为。