[论文解读] Intrinsic Wasserstein Correlation Analysis

Hang Zhou, Zhenhua Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2021

Advanced Neuroimaging Techniques and Applications参考文献 40被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的框架——内在Wasserstein相关性分析（IWCA），用于基于Wasserstein空间的内在几何结构，对分布值函数数据进行典型相关性分析。通过利用Riemannian对数映射和平行移动，将张量Hilbert空间理论扩展至非线性Wasserstein空间，该方法实现了基于FPCA和Tikhonov正则化的相关性与权重函数估计，并在正则性条件下达到了极小极大最优收敛速率。

ABSTRACT

We develop a framework of canonical correlation analysis for distribution-valued functional data within the geometry of Wasserstein spaces. Specifically, we formulate an intrinsic concept of correlation between random distributions, propose estimation methods based on functional principal component analysis (FPCA) and Tikhonov regularization, respectively, for the correlation and its corresponding weight functions, and establish the minimax convergence rates of the estimators. The key idea is to extend the framework of tensor Hilbert spaces to distribution-valued functional data to overcome the challenging issue raised by nonlinearity of Wasserstein spaces. The finite-sample performance of the proposed estimators is illustrated via simulation studies, and the practical merit is demonstrated via a study on the association of distributions of brain activities between two brain regions.

研究动机与目标

• 开发一种适用于取值于Wasserstein空间（非线性且缺乏标准Hilbert空间结构）的函数数据的典型相关性分析框架。
• 通过利用Wasserstein空间的内在Riemannian几何，特别是对数映射与平行移动，解决其非线性性挑战。
• 提出基于函数主成分分析（FPCA）与Tikhonov正则化的相关性及对应权重函数的估计器。
• 在适当的正则性条件下，建立所提估计器的极小极大收敛速率。
• 通过模拟研究与fMRI脑活动分布分析，展示该方法的实际应用价值。

提出的方法

• 利用与最优传输兼容的Riemannian结构，在Wasserstein空间中定义随机分布之间相关性的内在概念。
• 采用Riemannian对数映射对Wasserstein空间进行线性化，使其能够在内在几何设定下应用张量Hilbert空间技术。
• 应用函数主成分分析（FPCA）从观测到的分布值函数数据中估计相关性结构与权重函数。
• 使用Tikhonov正则化稳定相关性与权重函数的估计，尤其在高维或病态条件下。
• 通过平行移动与测地线插值，将张量Hilbert空间框架从有限维Riemannian流形推广至无限维Wasserstein空间。
• 通过分析在特征结构与样本量假设下的特征值衰减与扰动界，建立理论收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为取值于非线性Wasserstein空间的函数数据有意义地定义典型相关性分析？
• RQ2 Wasserstein空间中随机分布之间的内在几何相关性结构是什么？如何实现其一致估计？
• RQ3 FPCA与Tikhonov正则化能否被适配于该非线性设定下，以实现相关性与权重函数的最优收敛速率估计？
• RQ4 与经典欧几里得函数数据分析相比，Wasserstein空间的非线性性如何影响相关性估计器的理论性质？
• RQ5 在Wasserstein函数数据设定下，相关性估计器的极小极大收敛速率是多少？所提方法能否实现该速率？

主要发现

• 所提出的内在Wasserstein相关性分析框架通过利用Wasserstein空间的内在Riemannian几何，成功地将典型相关性分析推广至分布值函数数据。
• 在特征值衰减与谱间隙的正则性条件下，该方法对相关性估计器及其对应权重函数均实现了极小极大最优收敛速率。
• 模拟研究证实了基于FPCA与Tikhonov正则化的估计器在有限样本下对相关性与权重函数估计的性能与鲁棒性。
• 理论分析表明，即使在无限维设定下，特征值扰动界与收敛速率依然有效，前提是特征结构满足多项式衰减条件。
• 该方法在fMRI数据上得到实际验证，展示了其检测不同脑区脑信号强度分布之间有意义关联的能力。
• 本文通过证明在标准假设下RKHS范数界发散，弥补了先前理论工作中关于收敛速率的空白，凸显了所提内在几何方法的必要性。