[论文解读] Introducing the ISE Methodology: A Powerful New Tool for Topological Redescription

Daniel Grimmer|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2023

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用 10

一句话总结

本文引入 ISE 方法论（Internalize、Search、Externalize）用于拓扑改写，并通过对傅里叶变换时空理论的重新描述以及在连续时空上的格点理论的重新描述来演示其应用。

ABSTRACT

This paper introduces a powerful new tool for topological redescription, the ISE Methodology. These tools allow us to remove and replace a theory's topological underpinnings just as easily as we can switch between different coordinate systems. Aspirationally, these novel topological redescription techniques can be used to provide new support for a roughly Kantian view of space and time; Rather than corresponding to any fundamental substances or relations, we can see the spacetime manifolds which appear in our theories as merely being an aspect of how we represent the world. This view of spacetime topology parallels the dynamic-first view of geometry as well as a Humean view of laws; The spacetime manifolds which feature in our best theories reflect nothing metaphysically substantial in the world beyond them it being one particularly nice way (among others) of codifying the dynamical behavior of matter. A parallel publication (namely, Grimmer (2023)) will explicitly characterize the power and scope of the topological redescription techniques offered to us by the ISE Methodology. The modest goal of this paper is simply to introduce the ISE Methodology by applying it to two example theories. Firstly, to familiarize ourselves with these techniques, I will show how they can be used to redescribe a spacetime theory via a Fourier transform. Secondly, I will show how the exact same techniques can be used to redescribe a lattice theory (i.e., a theory set on a discrete spacetime, M=RxZ) as existing on a continuous spacetime manifold,M=RxR.

研究动机与目标

• 通过展示时空流形是表示而非基本物质或关系，来激发一种类似康德的时空编码观。
• 介绍 ISE 方法论（Internalize、Search、Externalize）作为在理论的拓扑描述之间穿梭的工具。
• 用具体例子演示该方法论：对一个时空理论的傅里叶变换重新描述，以及格点到连续的重新描述。
• 阐明 PSTOs（pre-spacetime translation operations）如何从理论的状态空间生成新的候选时空设定。
• 概述通过拓扑改写获得多重时空描述的潜在哲学与方法论后果。

提出的方法

• 定义三步 ISE 工作流：Internalize 将动力学从旧的拓扑结构中分离，Search 识别 pre-spacetime translation operations（PSTOs），Externalize 将 PSTOs 视为在新设定中的时空平移。
• 将 PSTOs 作为作用于理论态的光滑变换，模仿时空平移，包括在 Fourier 空间的平移以及格点上的连续平移。
• 通过建立一个新的时空设定实现 Externalize，使所选 PSTOs 成为真正的时空平移，通常通过诸如傅里叶变换之类的变换相关联。
• 将该方法论应用到具体理论：对一个简单的傅里叶型位移进行重新描述，以及在连续流形上重新描述格点理论。
• 证明内部化可以在保留关键动力学与代数结构的同时，通过幸存的微分同胚和均匀流形结构揭示旧时空的拓扑信息。

Figure 2: The Lie group $\text{SO}(3)\cong\text{RP}^{3}$ is depicted here as a smooth manifold: Namely, as a ball with radius $\pi$ in $\mathbb{R}^{3}$ with every pair of antipodal points on its surface identified. Concretely, each point $r\in\mathbb{R}^{3}$ in this figure represents a rotation of $

实验结果

研究问题

• RQ1 ISE 方法论是否能够在不依赖传统时空流形的情况下，为物理理论生成有效的拓扑重新描述？
• RQ2 在多大程度上可以识别并外化 PSTOs，以产生保留或重新诠释动力学的新时空设定？
• RQ3 傅里叶空间和格点到连续的重新描述如何揭示表示与时空拓扑之间的关系？
• RQ4 ISE 方法论在经验和概念上支持的关于时空的哲学立场（时空编码论）是什么？
• RQ5 在移除拓扑背景同时保留动力学内容方面，内部化的边界和适用范围是什么？

主要发现

• ISE 方法论提供了一种系统性方法来移除并替换理论的拓扑背景，就像切换坐标系一样。
• PSTOs 是作用于理论态的具体光滑变换，表现得像时空平移，可以外化以创建一个新的时空设定。
• 一个傅里叶位移的例子表明，理论的时空描述可以通过傅里叶变换重新描述，从而得到一个新时空，在其中傅里叶空间的平移是真正的时空平移。
• 在离散时空上的格点理论可以通过使用在离散平移之间插值的连续 PSTOs，在连续时空上重新描述，揭示隐藏的动力学对称性。
• 内部化可以通过幸存的微分同胚来保留旧时空的拓扑信息，并且可以从中性理论中幸存的李群结构重建旧时空。