[论文解读] Introduction of frame in tensor product of n-Hilbert spaces

Prasenjit Ghosh, T. K. Samanta|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2021

Mathematical Analysis and Transform Methods被引用 5

一句话总结

本文在n-希尔伯特空间的张量积中引入了框架，将框架理论从标准希尔伯特空间推广到高阶张量结构。研究证明，在该空间中，有界线性算子作用于框架的像仍是框架当且仅当该算子可逆，并刻画了张量积设置下的对偶框架，通过酉不变性和张量积构造，将经典框架对偶性推广至n-希尔伯特空间。

ABSTRACT

We study the concept of frame in tensor product of n-Hilbert spaces as tensor product of n-Hilbert spaces is again a n-Hilbert space. We generalize some of the known results about bases to frames in this new Hilbert space. A relationship between frame and bounded linear operator in tensor product of n-Hilbert spaces is studied. Finally, the dual frame in tensor product of n-Hilbert spaces is discussed.

研究动机与目标

• 将框架理论从标准希尔伯特空间扩展到n-希尔伯特空间的张量积中。
• 将关于基和框架的已知结果推广至n-希尔伯特空间的语境中。
• 研究有界线性算子与n-希尔伯特空间张量积中框架之间的关系。
• 在n-希尔伯特空间的张量积中定义并刻画对偶框架。
• 建立对偶框架结构在张量积空间中酉变换下的不变性。

提出的方法

• 利用n-希尔伯特空间的张量积结构，通过初等张量序列定义框架。
• 应用n-内积和n-范数的概念，定义张量积空间中的框架条件。
• 采用适配n-希尔伯特空间框架的合成、分析和框架算子。
• 利用酉算子在张量积空间中保持框架和对偶框架结构。
• 应用有界线性算子的张量积，以结构化方式映射框架和对偶框架。
• 通过内积恒等式和张量积空间中的完备性，证明框架和对偶框架的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在n-希尔伯特空间的张量积中，有界线性算子作用于框架的像在何种条件下仍是框架？
• RQ2 如何在n-希尔伯特空间的张量积中定义并刻画对偶框架？
• RQ3 酉算子在n-希尔伯特空间张量积中对保持对偶框架关系起到何种作用？
• RQ4 在n-希尔伯特空间中，框架界和框架算子在张量积构造下如何表现？
• RQ5 单个希尔伯特空间中的框架与其张量积框架之间存在何种关系？

主要发现

• 在n-希尔伯特空间的张量积中，有界线性算子作用于框架的像仍是框架当且仅当该算子可逆。
• 在n-希尔伯特空间的张量积中，对偶框架在分量空间的酉变换下保持不变。
• 通过将各分量空间中的对偶框架元素进行张量积，可在张量积空间中构造出一对对偶框架。
• 张量积空间中的框架算子是各分量空间框架算子的张量积。
• 张量积空间中的合成算子和分析算子是良定义且有界的，保持框架性质。
• 当各分量希尔伯特空间中满足对偶框架条件时，张量积空间中的对偶框架条件也成立。