[论文解读] Introduction to fractional Orlicz-Sobolev spaces

Elhoussine Azroul, Abdelmoujib Benkirane+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新的分數 Orlicz-Sobolev 空間定義，以克服現有公式中因奇異測度所導致的限制，並證明其在 Orlicz 空間中的連續與緊緻嵌入。主要貢獻在於透過 Minty-Browder 定理，建立非局部問題中分數 M-拉普拉斯算子弱解的存在性與唯一性。

ABSTRACT

In this paper, we define the fractional Orlicz-Sobolev spaces, and we prove some important results of these spaces. The main result is to show the continuous and compact embedding for these spaces. As an application, we prove the existence and uniqueness of a solution for a non local problem involving the fractional M-Laplacian operator.

研究动机与目标

• 解決標準公式中因測度 $ \frac{dxdy}{|x-y|^N} $ 的奇異性所導致的分數 Orlicz-Sobolev 空間定義之數學挑戰。
• 提出修正後的分數 Orlicz-Sobolev 空間定義，以確保更好的分析性質與 Orlicz 空間理論的相容性。
• 建立新分數 Orlicz-Sobolev 空間在 $ \Delta_2 $-正則條件下對 Orlicz 空間的連續與緊緻嵌入結果。
• 將嵌入結果應用於證明涉及分數 M-拉普拉斯算子的非局部問題弱解的存在性與唯一性。

提出的方法

• 透過引入涉及反 N-函數 $ M^{-1}(|x-y|^N) $ 的歸一化，提出一種新的分數 Orlicz-Sobolev 空間定義，以處理測度 $ \frac{dxdy}{|x-y|^N} $ 中的奇異性。
• 證明當 $ M(t) = t^p $ 時，新空間 $ W^sL_M(\Omega) $ 與經典分數次 Sobolev 空間一致，確保與已知情形的相容性。
• 採用 Donaldson 與 Trudinger 的方法，在 $ \Delta_2 $-正則條件下，建立 $ W^sL_M(\Omega) $ 對 Orlicz 空間的連續與緊緻嵌入。
• 透過涉及 N-函數 $ m $ 的導數之非局部、非線性、非齊次積分算子，定義分數 M-拉普拉斯算子 $ (-\Delta)^s_m $。
• 利用 Minty-Browder 定理，透過驗證算子的有界性、連續性、嚴格單調性與 coercivity，證明弱解的存在性與唯一性。
• 在函數幾乎處處在 $ \Omega $ 外為零的閉子空間 $ \widetilde{W}^s_{0}L_M(\Omega) $ 上工作，配備範數 $ [\cdot]_{s,M} $，以確保自反性與分離性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何重新定義分數 Orlicz-Sobolev 空間，以克服現有公式中測度 $ \frac{dxdy}{|x-y|^N} $ 所導致的問題？
• RQ2 在 $ \Delta_2 $-正則條件下，新分數 Orlicz-Sobolev 空間對 Orlicz 空間的連續與緊緻嵌入性質為何？
• RQ3 新框架能否用於證明涉及分數 M-拉普拉斯算子的非局部 PDE 弱解的存在性與唯一性？
• RQ4 當 $ M(t) = t^p $ 時，新定義的分數 Orlicz-Sobolev 空間與經典分數 Sobolev 空間有何關係？

主要发现

• 新定義的分數 Orlicz-Sobolev 空間確保其對應範數定義良好，並避開了在對角線附近因奇異測度所導致的問題。
• 在 $ M $ 的 $ \Delta_2 $-正則條件下，空間 $ W^sL_M(\Omega) $ 連續且緊緻地嵌入至 Orlicz 空間 $ L_M(\Omega) $。
• 對於任意 $ u \in L_M(\Omega) $，極限 $ \lim_{s \to 1} (1-s) \int_{\mathbb{R}^N} \int_{\mathbb{R}^N} M\left( \frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^s} \right) \frac{dxdy}{|x-y|^N} $ 存在，且等於 $ \int_{\mathbb{R}^N} \widetilde{M}(u(x)) dx $，連結了分數與經典極限。
• 分數 M-拉普拉斯算子 $ (-\Delta)^s_m $ 在 $ \widetilde{W}^s_{0}L_M(\Omega) $ 上有界、連續、嚴格單調且 coercive。
• 問題 $ (-\Delta)^s_m u = f $ 在 $ \Omega $ 內，$ u = 0 $ 在 $ \mathbb{R}^N \setminus \Omega $，對於任意 $ f \in (\widetilde{W}^s_{0}L_M(\Omega))^* $，在 $ \widetilde{W}^s_{0}L_M(\Omega) $ 中有唯一弱解。
• 透過 Poincaré 型不等式與 $ M $ 的凸性，建立算子的 coercivity，導出 $ \frac{\langle (-\Delta)^s_m u, u \rangle}{\|u\|_{s,M}} \geq C \|u\|_{s,M}^{p_0 - 1} $ 對於大 $ \|u\|_{s,M} $ 成立。