[论文解读] Introduction to graded bundles

Andrew James Bruce, Katarzyna Grabowska+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文通过利用实数乘法半群的齐次性结构，将加权几何推广为向量丛的自然推广，引入了分级丛。它建立了从k次分级丛到对称k重向量丛的典范线性化函子，并通过要求齐次性结构与李理论对象相容，发展了加权李群胚与李代数胚的理论。其主要贡献是通过整体线性化，在k次分级丛与对称k重向量丛之间建立了范畴等价。

ABSTRACT

We review the concept of a graded bundle as a natural generalisation of a vector bundle. Such geometries are particularly nice examples of more general graded manifolds. With hindsight there are many examples of graded bundles that appear in the existing literature. We start with a discussion of graded spaces, passing through graded bundles and their linearisation to end with weighted (graded) Lie groupoids/algebroids.

研究动机与目标

• 通过齐次性结构将分级丛形式化为向量丛的推广。
• 从分级丛到对称k重向量丛建立一个典范线性化函子。
• 将加权李群胚与李代数胚定义并表征为配备有相容齐次性结构的李理论对象。
• 在k次分级丛与对称k重向量丛的范畴之间建立范畴等价。
• 为微分几何与数学物理中的高阶几何结构提供一个框架。

提出的方法

• 通过总空间上对乘法半群(R, ·)的光滑作用定义分级丛，通过权重编码齐次性。
• 利用齐次性结构的概念，将向量丛的性质推广到非线性、高权重的情形。
• 构造将k次分级丛映射到k重向量丛的线性化函子L[k]，在结构置换下保持对称性。
• 通过迭代线性化过程获得整体线性化，得到对称k重向量丛。
• 将加权李群胚与李代数胚定义为配备有相容齐次性结构的李群胚/李代数，该结构作为态射作用。
• 证明具有单连通源纤维的可积加权李代数胚（k次）与加权李群胚（k次）之间存在一一对应。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过基于权重的分级，将向量丛推广以包含高阶、非线性结构？
• RQ2 k次分级丛的典范线性化过程是什么？它与k重向量丛有何关系？
• RQ3 如何将齐次性结构与李群胚和李代数胚结构相容，以形成加权几何对象？
• RQ4 k次分级丛的范畴与对称k重向量丛的范畴之间存在何种范畴关系？
• RQ5 在何种条件下，加权李代数胚可被积分化为加权李群胚？

主要发现

• 整体线性化函子L[k]在k次分级丛的范畴与对称k重向量丛的全子范畴之间建立了典范等价。
• 李群胚G的k阶喷射丛Ak(G)的线性化由李代数胚A(G)的锚映射与投影的嵌套纤维积条件给出。
• 对于李群胚G，其k阶喷射丛TkG自然继承了k次加权李群胚结构。
• TkM的线性化同构于迭代切丛T(k)M，对称群Sk通过迭代切结构的自然交换作用实现。
• 具有单连通源纤维的可积加权李代数胚（k次）与加权李群胚（k次）之间存在一一对应。
• Ak(G)的完全线性化被表征为满足锚映射与投影之间链式相容条件的k重切提升。