[论文解读] Introduction to Homotopy Type Theory

Egbert Rijke|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2022

History and Theory of Mathematics被引用 4

一句话总结

本文提供了同伦类型论（HoTT）的全面且教学性的导论，系统地发展了马丁-洛夫的依赖类型理论，并通过同伦基础进行扩展。它建立了类型论、同伦论与高阶范畴论之间的联系，展示了恒等类型如何建模路径，以及同伦等周公理如何使同构类型得以识别，从而在构造性数学基础上统一了逻辑、类型论与拓扑学。

ABSTRACT

This is an introductory textbook to univalent mathematics and homotopy type theory, a mathematical foundation that takes advantage of the structural nature of mathematical definitions and constructions. It is common in mathematical practice to consider equivalent objects to be the same, for example, to identify isomorphic groups. In set theory it is not possible to make this common practice formal. For example, there are as many distinct trivial groups in set theory as there are distinct singleton sets. Type theory, on the other hand, takes a more structural approach to the foundations of mathematics that accommodates the univalence axiom. This, however, requires us to rethink what it means for two objects to be equal. This textbook introduces the reader to Martin-Löf's dependent type theory, to the central concepts of univalent mathematics, and shows the reader how to do mathematics from a univalent point of view. Over 200 exercises are included to train the reader in type theoretic reasoning. The book is entirely self-contained, and in particular no prior familiarity with type theory or homotopy theory is assumed.

研究动机与目标

• 为逻辑、数学与计算机科学领域的研究人员和学生提供一个自包含且易于理解的同伦类型论导论。
• 系统地发展马丁-洛夫的依赖类型理论，作为构造性数学的基础。
• 引入并形式化同伦等周公理，展示其如何将同构类型等同，并实现同伦论的综合方法。
• 展示如何在类型论框架内构造和推理核心数学结构——如自然数、整数、有限类型与群。
• 建立同伦基础的逻辑与范畴论基础，包括命题截断、像分解与集合商。

提出的方法

• 以马丁-洛夫的依赖类型理论作为基础系统，通过显式推理规则、推导与判断来形式化类型构造。
• 将恒等类型引入为路径类型，通过归纳定义与传输操作建模同伦结构。
• 应用 Curry-Howard 同构，将逻辑命题解释为类型，证明解释为项，从而在类型论中实现逻辑推理。
• 使用高阶归纳类型（HITs）构造数学对象，如圆周、整数与命题截断，具有指定的泛性质。
• 将同伦等周公理发展为关键原则，识别等价类型，从而实现函数延拓性与命题延拓性。
• 利用可缩类型与单点归纳法刻画唯一性与等价性，构成高阶截断层级与集合商的基础。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地发展马丁-洛夫的依赖类型理论，使其成为构造性数学的基础？
• RQ2 类型论中的恒等类型如何建模路径与同伦，并形成何种代数结构？
• RQ3 同伦等周公理在识别同构类型以及统一类型论与同伦论中起什么作用？
• RQ4 如何使用高阶归纳类型以综合方式构造数学对象，如圆周、整数与有限类型？
• RQ5 在同伦类型论中，命题截断、像分解与集合商的构造之间存在何种关系？

主要发现

• 类型 X 上的恒等类型与 X 的路径空间同构，使类型具备类似范畴的结构，其中识别被建模为路径。
• 同伦等周公理蕴含函数延拓性与命题延拓性，表明在类型论意义上，同构类型是相等的。
• 自然数通过涉及递归与归纳的泛性质被刻画，其加法与良序性可在系统内证明。
• 命题截断提供将任意类型转化为命题的方法，从而支持逻辑析取与存在量词的构造。
• 集合商与像分解通过高阶归纳类型构造，其中映射的像是被表征为所有可通过路径到达的元素的类型。
• 整数被构造为 ℕ × ℕ 关于等价关系的商，并在加法下构成一个具有可判定等式的群。