[论文解读] Introduction to linear logic and ludics, part II

Pierre-Louis Curien|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2005

Logic, programming, and type systems参考文献 49被引用 32

一句话总结

本文在乘法线性逻辑（MLL）中引入了证明网络（proof nets）与 ludics，将证明网络呈现为抽象语法顺序的基于图的证明表示。它建立了证明网络与自然演绎证明之间的双射对应关系，并发展了 ludics 作为通过设计（designs）与行为（behaviours）建模交互式计算的框架，关键成果包括全完备性与组合性。

ABSTRACT

This paper is the second part of an introduction to linear logic and ludics, both due to Girard. It is devoted to proof nets, in the limited, yet central, framework of multiplicative linear logic and to ludics, which has been recently developped in an aim of further unveiling the fundamental interactive nature of computation and logic. We hope to offer a few computer science insights into this new theory.

研究动机与目标

• 为乘法线性逻辑（MLL）中的证明网络提供基础性介绍，抽象出自然演绎中的顺序。
• 将 ludics 形式化为通过设计与行为建模交互式计算与逻辑的框架。
• 在无切割的 MLL 中，建立证明网络与自然演绎证明之间的双射对应关系。
• 探讨证明网络与 ludics 之间的相互作用，特别是可顺序化性与全完备性。
• 研究行为的代数结构及其通过张量与加法运算的组合方式。

提出的方法

• 将 MLL 中的证明表示为证明结构：由部分公式树组成的森林，并将叶子划分为互为对偶的公式对。
• 将证明网络定义为可通过公理、张量（⊗）与对偶（⊸）连结词的推理规则实现顺序化的证明结构。
• 使用 {1,2} 上的出现词追踪子公式，并通过子公式索引定义部分公式树 A^U。
• 使用正负设计建模 ludics，其中动作由符号（+、−）、地址（ξ）和索引集（I）标记。
• 将行为定义为在对偶与交互下封闭的设计集合，引入正交性与交集运算。
• 引入去定位函数以通过地址重索引变换设计，实现不相交性与组合性。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时一个证明结构可被顺序化为有效的 MLL 证明？
• RQ2 ludics 如何通过设计与行为建模交互式计算？
• RQ3 在何种条件下两个行为是不相交的，这与正交性有何关联？
• RQ4 行为上的张量与加法运算如何相互作用，且 ⊗ 是否对 ⊕ 满足分配律？
• RQ5 在带有参数化证明的极化 MALL 版本中，能否实现全完备性结果？

主要发现

• 在无切割的 MLL 中，证明网络与自然演绎证明之间存在双射对应关系，确保顺序化既正确又完备。
• 证明网络被表征为满足切换条件的证明结构，该条件确保网络图中无环。
• 两个正向行为不相交当且仅当它们的集合交集为 {⊥}；两个负向行为不相交当且仅当它们的编年史投影彼此不相交。
• 在行为上，⊗ 对 ⊕ 满足分配律，当 G 和 H 均为正且不相交时，有 |G ⊕ H| = |G| ∪ |H|。
• 存在去定位函数 θ，使得对任意两个基于同一底基的行为 G₁ 与 G₂，均可使 θ(G₁) 与 θ(G₂) 不相交。
• 在带有参数化证明的极化 MALL 版本中，全完备性结果成立，通过为行为添加部分等价关系得以实现。