[论文解读] Introduction to teleparallel gravities

Alexey Golovnev|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2018

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用 12

一句话总结

本文为广义相对论的替代理论——扭积引力及其修正形式提供了教学性质的导论，重点在于度量-仿射几何与旋旋连接（spin connection）的作用。研究表明，协变扭积引力模型，特别是 $f(\mathbb{T})$ 引力，通过旋旋连接产生非平凡的动力学；由于局域洛伦兹对称性，旋旋连接的运动方程是冗余的，而 tetrad（ tetrad）方程的反对称部分则捕捉了真实动力学。

ABSTRACT

We give a pedagogical introduction into the field of (modified) teleparallel theories of gravity. Our presentation is fairly self-contained. In particular, we carefully explain the basic principles of metric-affine approaches to gravity. This contribution is based on our talk "Teleparallel gravity, its modifications, and the local Lorentz invariance" at the 9th Mathematical Physics Meeting: School and Conference on Modern Mathematical Physics in Belgrade, September 2017.

研究动机与目标

• 为不熟悉该领域的研究人员提供一份自包含、教学性质的扭积引力及其修正形式的导论。
• 阐明度量-仿射引力的基础原理，区分流形上度量结构与仿射结构之间的差异。
• 分析协变扭积引力模型的动力学，特别关注旋旋连接的作用与局域洛伦兹对称性。
• 探讨修正扭积引力中的开放问题，包括自由度计数与宇宙学微扰行为。
• 主张扭积引力为标准广义相对论及其修正提供了一种独特且可行的替代方案，尤其在宇宙学模型构建方面具有优势。

提出的方法

• 使用基于分量的微分几何方法，以坐标依赖但易于理解的方式定义仿射联络、协变导数与曲率张量。
• 引入 tetrad 形式与扭率（torsion）作为扭积引力中基本的几何量，与广义相对论中曲率的概念形成对比。
• 通过允许旋旋连接为动力学变量，推导出协变扭积引力的作用量原理，且该作用量在局域洛伦兹变换下保持不变。
• 对作用量应用变分法，推导出 tetrad 与旋旋连接的运动方程，表明由于对称性，旋旋连接方程是冗余的。
• 对 $f(\mathbb{T})$ 模型进行详细分析，推导出 tetrad 运动方程，并识别出其反对称部分为物理上相关之分量。
• 利用对称性论证表明，旋旋连接的变分可通过 tetrad 的洛伦兹变换来补偿，从而证明旋旋连接方程的冗余性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在几何基础方面，扭积引力与广义相对论有何不同，特别是扭率与曲率的角色有何区别？
• RQ2 在协变扭积引力模型中，旋旋连接的动力学角色是什么？为何其运动方程是冗余的？
• RQ3 尽管 $f(\mathbb{T})$ 引力模型看似偏离广义相对论，为何其宇宙学微扰不表现出额外自由度？
• RQ4 如何可靠地计算修正扭积引力中物理自由度的数量，特别是在 $f(\mathbb{T})$ 等模型中？
• RQ5 局域洛伦兹对称性在扭积引力中的意义是什么？其破缺如何影响理论的一致性与可预测性？

主要发现

• 在协变扭积引力中，旋旋连接的运动方程是冗余的，因为其等价于 tetrad 运动方程的反对称部分，这是由于局域洛伦兹不变性所致。
• 在 $f(\mathbb{T})$ 引力中，tetrad 运动方程的反对称部分是非平凡的，且仅包含旋旋连接的一阶导数，表明旋旋连接并非非动力学的。
• 协变扭积引力模型的作用量在 tetrad 与旋旋连接的联合变换下恒为不变，确保了局域洛伦兹对称性下的理论一致性。
• $f(\mathbb{T})$ 引力中 tetrad 方程的反对称部分为 $T^{\alpha\mu\nu}\partial_\alpha f'(\mathbb{T}) + T^{\nu}\partial^\mu f'(\mathbb{T}) - T^{\mu}\partial^\nu f'(\mathbb{T}) = 0$，该方程与旋旋连接变分所得结果一致。
• 在平坦弗里德曼宇宙的线性宇宙学微扰中，未出现额外模态的现象仍属谜团，尽管在闵氏空间中二次作用量可能通过意外的局域洛伦兹对称性恢复来解释。
• 本文反对将旋旋连接视为非动力学的处理方式，建议其可能与 tetrad 共轭，从而可能引入新自由度，尽管这一观点仍属推测。