[论文解读] Introduction to the Kalman Filter and Tuning its Statistics for Near Optimal Estimates and Cramer Rao Bound

Shyam Mohan M, Naren Naik+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2015

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks参考文献 51被引用 32

一句话总结

本文提出了一种新颖的参考递归调参方法，用于卡尔曼滤波器，通过迭代调整过程噪声和测量噪声协方差，并利用广义似然代价函数，实现近似最优估计。通过在多次滤波遍历中利用先验、后验和光滑化状态，该方法收敛至统计平衡状态，匹配克拉默-罗界（Cramér-Rao Bounds），并在仿真和真实航空航天应用中实现内部一致、高精度的状态估计。

ABSTRACT

This report provides a brief historical evolution of the concepts in the Kalman filtering theory since ancient times to the present. A brief description of the filter equations its aesthetics, beauty, truth, fascinating perspectives and competence are described. For a Kalman filter design to provide optimal estimates tuning of its statistics namely initial state and covariance, unknown parameters, and state and measurement noise covariances is important. The earlier tuning approaches are reviewed. The present approach is a reference recursive recipe based on multiple filter passes through the data without any optimization to reach a `statistical equilibrium' solution. It utilizes the a priori, a posteriori, and smoothed states, their corresponding predicted measurements and the actual measurements help to balance the measurement equation and similarly the state equation to help form a generalized likelihood cost function. The filter covariance at the end of each pass is heuristically scaled up by the number of data points is further trimmed to statistically match the exact estimates and Cramer Rao Bounds (CRBs) available with no process noise provided the initial covariance for subsequent passes. During simulation studies with process noise the matching of the input and estimated noise sequence over time and in real data the generalized cost functions helped to obtain confidence in the results. Simulation studies of a constant signal, a ramp, a spring, mass, damper system with a weak non linear spring constant, longitudinal and lateral motion of an airplane was followed by similar but more involved real airplane data was carried out in MATLAB. In all cases the present approach was shown to provide internally consistent and best possible estimates and their CRBs.

研究动机与目标

• 解决实际应用中长期存在的基于启发式、非系统化的卡尔曼滤波器调参难题。
• 开发一种可重复、数据驱动的程序，用于估计过程噪声和测量噪声协方差，而无需依赖优化方法。
• 通过使估计结果与理论克拉默-罗界对齐，确保滤波估计的内部一致性。
• 提供一种鲁棒、通用的调参框架，适用于多种系统，包括非线性和真实飞行数据。
• 通过仿真和真实飞行数据验证该方法，证明其收敛性和统计可靠性。

提出的方法

• 使用标准卡尔曼滤波方程对数据进行多次递归遍历，迭代优化估计结果。
• 采用基于创新序列、预测测量值和实际测量值的广义似然代价函数，评估统计一致性。
• 在每次遍历结束时，通过数据点数量对滤波协方差进行启发式缩放，以加速收敛至统计平衡状态。
• 将缩放后的协方差修剪至与精确估计值和克拉默-罗界一致，当过程噪声不存在时。
• 利用先验、后验和光滑化状态估计，平衡迭代过程中的测量方程与状态方程。
• 在存在过程噪声的情况下，应用期望最大化（EM）方法估计R和Q，提升鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地调参卡尔曼滤波器统计特性，而非依赖启发式方法，以实现最优性能？
• RQ2 能否通过一种递归的、非优化方法实现统计平衡，并匹配理论克拉默-罗界？
• RQ3 所提出的方法如何确保在不同滤波状态和噪声估计之间保持内部一致性？
• RQ4 该方法在多大程度上可泛化至线性及弱非线性系统，包括真实飞行数据？
• RQ5 在缺乏已知噪声统计特性的情况下，广义似然代价函数能否可靠地指导调参？

主要发现

• 所提出的调参方法在所有测试案例中均实现了内部一致的估计，包括恒定信号、斜坡信号、弹簧-质量-阻尼系统以及飞机纵向和侧向动力学。
• 在存在过程噪声的仿真中，该方法成功匹配了输入与估计的噪声序列，表明其具有鲁棒性。
• 对于无过程噪声的系统，最终滤波协方差收敛至与精确估计值和克拉默-罗界一致，验证了理论最优性。
• 广义似然代价函数的使用增强了结果的可信度，尤其在真实数据应用中（此时真实值未知）具有重要意义。
• 该方法在合成数据和真实飞行数据中均表现出一致的性能，优于传统启发式调参方法。
• 递归的多遍结构使方法在无需迭代优化或用户定义调参参数的情况下，实现向统计平衡状态的收敛。