[论文解读] Introduction to W-algebras and their representation theory

Tomoyuki Arakawa|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用 11

一句话总结

本文對 W-代數及其表示理論提供了全面的介紹，專注於通過量化 Drinfeld-Sokolov 約化從 A 型李代數構造的主 W-代數。它確立了 W-代數的最小模型——即有理的、光滑的表示——的存在性與分類，並利用 Zhu 代數技術與 BRST 上同調證明了 Frenkel、Kac 和 Wakimoto 的一個猜想，主要成果包括特徵標公式與分母恆等式。

ABSTRACT

These are lecture notes from author's mini-course during Session 1: "Vertex algebras, W-algebras, and application" of INdAM Intensive research period "Perspectives in Lie Theory", at the Centro di Ricerca Matematica Ennio De Giorgi, Pisa, Italy. December 9, 2014 -- February 28, 2015.

研究动机与目标

• 為李理論與數學物理領域的研究者提供 W-代數及其表示理論的基礎介紹。
• 解決長期存在的關於 W-代數最小模型存在性與構造的猜想，類比於 Virasoro 代數的最小模型。
• 利用 Zhu 代數與 BRST 上同調方法，對有理 W-代數的單模進行分類。
• 證明非退化適任層次 W-代數的單模類別是有限的，且完全由最小系列表示描述。

提出的方法

• 將量化 Drinfeld-Sokolov 約化作為從仿射 Kac-Moody 代數表示到 W-代數表示的函子性構造。
• 應用 BRST 上同調與哈密頓約化技術，將有限維李代數的不變量與 W-代數結構相連接。
• 利用 Zhu 代數將頂點代數表示與有限 W-代數表示相聯繫，進而透過最高權理論實現分類。
• 利用 Kostant 的 Whittaker 模型與伴隨矩陣上的不變多項式，描述普遍包絡代數的中心。
• 透過 Weyl 群作用下的連結性原理與特徵標公式，對單模進行分類並驗證有理性。
• 利用 W-代數的 Zhu 代數與有限 W-代數之間的同構，將分類問題簡化為適任表示的已知結果。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於與 A 型李代數相關的 W-代數，是否存在類似於 Virasoro 代數中最小模型的最小模型？
• RQ2 能否使用表示理論技術完全分類有理 W-代數的單模類別？
• RQ3 Zhu 代數在聯繫頂點代數表示與有限 W-代數結構中扮演何種角色？
• RQ4 W-代數的特徵標公式與分母恆等式如何推廣 Virasoro 代數的對應公式？
• RQ5 不同最小模型之間是否存在對偶性或同構關係，例如 (p,q)-模型與 (q,p)-模型之間？

主要发现

• Frenkel-Kac-Wakimoto 對 W-代數最小模型存在性的猜想已獲證明：對於非退化適任層次 $k$，簡單 W-代數 $\mathscr{W}_k(\mathfrak{g})$ 是有理的且光滑的。
• 簡單 $\mathscr{W}_k(\mathfrak{g})$-模的全部同構類由 $\{\mathbb{L}(\gamma_{\bar{\lambda}}) \mid \lambda \in [Pr_k^{non-deg}]\}$ 給出，其中 $[Pr_k^{non-deg}]$ 是非退化適任權重集合在 Weyl 群作用下的商集。
• 確立了特徵標公式 $\operatorname{ch}\mathbb{L}(\gamma_{\bar{\lambda}}) = \sum_{w \in \widehat{W}(\lambda)} \epsilon(w) \operatorname{ch}\mathbb{M}(\gamma_{\overline{w\circ\lambda}})$，確認了 Frenkel、Kac 和 Wakimoto 的一個猜想。
• 對於 $(n,n+1)$-最小模型，推導出分母恆等式 $\sum_{w \in \widehat{W}(\lambda)} \epsilon(w) q^{\frac{(\overline{w\circ\lambda}, \overline{w\circ\lambda} + 2\rho)}{2(k+n)}} = \prod_{j=1}^{n-1} (1 - q^j)^{n-1}$，在 $\mathfrak{sl}_2$ 情況下退化為 Euler 的五邊形恆等式。
• 當 $l+n = q/(p-q)$ 時，$\mathscr{W}^k(\mathfrak{g})$ 的 $(p,q)$-最小模型同構於 $V_l(\mathfrak{g}) \otimes V_1(\mathfrak{g})$ 中 $V_{l+1}(\mathfrak{g})$ 的交換子，此結果在 [ALY2] 中已針對 $(n+1,n)$ 情況證明。
• 對於所有 A 型情況，$\mathscr{W}^k(\mathfrak{g},f)$ 的有理性與光滑性已確立，確認了 Kac 與 Wakimoto 在 [A9] 中的猜想。