[论文解读] Intuitionistic Fuzzy Linear Transformations

Rajkumar Pradhan, Madhumangal Pal|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2014

Intuitionistic Fuzzy Systems Applications参考文献 18被引用 13

一句话总结

本文引入了直觉模糊线性变换（IFLT），并证明在直觉模糊向量空间上，所有此类变换的集合不构成向量空间。本文建立了相对于标准基的IFLT的唯一直觉模糊矩阵表示，并定义了IFLT的逆，为直觉模糊线性代数奠定了基础工具。

ABSTRACT

In this paper, we discussed about the intuitionistic fuzzy linear transformations (IFLT) and shown that the set of all linear transformations L(V) defined over an intuitionistic fuzzy vector space V does not form an vector space. Here we determine the unique intuitionistic fuzzy matrix associated with an intuitionistic fuzzy linear transformation with respect to an ordered standard basis for an intuitionistic fuzzy vector space. We introduced the concept of the inverse of an IFLT.

研究动机与目标

• 在直觉模糊向量空间的背景下，形式化直觉模糊线性变换（IFLT）的概念。
• 证明在直觉模糊向量空间上，所有IFLT的集合不构成向量空间。
• 推导相对于有序标准基的IFLT所对应的唯一直觉模糊矩阵。
• 定义并研究直觉模糊线性变换的逆。
• 为直觉模糊向量空间上的线性代数系统理论奠定基础。

提出的方法

• 本文将直觉模糊线性变换定义为在直觉模糊向量空间之间保持直觉模糊向量加法和数乘运算的映射。
• 通过直觉模糊向量空间的有序标准基，为每个IFLT构造唯一的直觉模糊矩阵表示。
• 本文利用直觉模糊集中固有的隶属度和非隶属度函数来表示变换矩阵。
• 通过要求变换与其逆的复合在直觉模糊意义下得到恒等变换，引入了逆IFLT的概念。
• 通过理论分析证明所有IFLT的集合不满足向量空间公理，特别是加法和数乘的封闭性。
• 本研究基于离散数学和线性代数的既定概念，并将其适配到直觉模糊设定中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在直觉模糊向量空间上，所有直觉模糊线性变换的集合是否构成向量空间？
• RQ2 如何通过矩阵唯一表示一个直觉模糊线性变换？
• RQ3 直觉模糊线性变换存在逆的条件是什么？
• RQ4 在直觉模糊背景下，元素的隶属度和非隶属度在线性变换下的行为如何？
• RQ5 直觉模糊线性变换在复合运算下形成何种代数结构？

主要发现

• 由于加法和数乘的封闭性不成立，在直觉模糊向量空间上，所有直觉模糊线性变换的集合不构成向量空间。
• 相对于给定的有序标准基，每个直觉模糊线性变换均可唯一关联一个直觉模糊矩阵。
• 在适当条件下，定义了直觉模糊线性变换的逆，并证明其存在，类似于经典线性代数中的情形。
• 矩阵表示保持了直觉模糊结构，隶属度和非隶属度值在变换下被一致映射。
• 本文建立了支持将直觉模糊线性代数作为独立理论框架发展的基础性结果。
• 结果通过理论推导得到验证，并发表于《纯粹与应用数学年鉴》（2012年）。