[论文解读] Intuitive Proof of Black-Scholes Formula Based on Arbitrage and Properties of Lognormal Distribution

Alexei Krouglov|ArXiv.org|Dec 3, 2006

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文通过套利原则和资产价格的对数正态分布，提供了一种直观推导欧式看涨期权布莱克-斯科尔斯公式的途径。通过利用对数正态随机变量的性质与风险中性定价，作者为非专业人士提供了一条清晰、非技术性的布莱克-斯科尔斯方程推导路径，使这一基础金融模型对初学者和非数学背景者更具可及性。

ABSTRACT

Presented is intuitive proof of Black-Scholes formula for European call options, which is based on arbitrage and properties of lognormal distribution. Paper can help students and non-mathematicians to better understand economic concepts behind one of the biggest achievements in modern financial theory.

研究动机与目标

• 为非专家提供布莱克-斯科尔斯期权定价公式的可访问、直观的解释。
• 展示布莱克-斯科尔斯公式如何自然地从套利论证与资产价格的对数正态行为中推导而出。
• 弥合期权定价理论中金融直觉与数学形式之间的鸿沟。
• 简化对现代金融经济学基石之一的理解，使无高级数学训练的学生与从业者也能掌握。

提出的方法

• 推导从股票价格遵循几何布朗运动的假设出发，意味着收益服从对数正态分布。
• 应用无套利原则，构建一个由期权多头与标的资产空头组成的无风险投资组合。
• 利用对数正态分布的矩 Generating 函数，计算在风险中性测度下的期望收益。
• 通过动态对冲与风险中性估值，推导布莱克-斯科尔斯偏微分方程。
• 通过将收益期望转化为标准正态累积分布函数，求解该偏微分方程。
• 最终公式表达为 C = S₀N(d₁) − Xe⁻ʳᵀN(d₂)，其推导基于建立在对数正态性质之上的概率推理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何仅通过套利基本原理与对数正态分布，推导布莱克-斯科尔斯公式？
• RQ2 股票价格的对数正态分布与布莱克-斯科尔斯期权定价公式之间存在何种直观联系？
• RQ3 是否可以在不依赖高级随机分析的前提下理解布莱克-斯科尔斯模型，而仅依靠概率直觉？
• RQ4 风险中性定价如何自然地从对数正态假设与无套利条件中浮现？

主要发现

• 布莱克-斯科尔斯公式仅通过股票价格的对数正态分布与无套利原则推导得出，避免了复杂的随机分析。
• 欧式看涨期权的期望收益通过标准正态变量的累积分布函数计算得出，其来源是对数正态变换后的股票收益。
• 风险中性测度通过使用对数正态分布的矩 Generating 函数被隐式构建。
• 最终期权价格表达为 C = S₀N(d₁) − Xe⁻ʳᵀN(d₂)，其中 d₁ 与 d₂ 由对数正态参数与无风险利率推导得出。
• 该推导证实，布莱克-斯科尔斯公式在对数正态假设下与动态对冲及市场完备性一致。