[论文解读] Invariable generation and the chebotarev invariant of a finite group

William M. Kantor, Alexander Lubotzky+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2010

Finite Group Theory Research参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文建立了有限群不变生成的紧致界，证明了每个有限群均可由至多 $\log_2|G|$ 个元素不变生成，且当且仅当 $G$ 为初等阿贝尔 2-群时取等。此外，本文证明了切波塔列夫不变量 $C(G)$ 为 $O(|G|^{1/2} \sqrt{\log|G|})$，并证明了每个非交换有限单群均可由两个元素不变生成。

ABSTRACT

A subset S of a finite group G invariably generates G if G = for each choice of g(s) 2 G; s 2 S. We give a tight upper bound on the minimal size of an invariable generating set for an arbitrary finite group G. In response to a question in [KZ] we also bound the size of a randomly chosen set of elements of G that is likely to generate G invariably. Along the way we prove that every finite simple group is invariably generated by two elements.

研究动机与目标

• 确定任意有限群的不变生成集的最小大小，回应 [KZ] 中提出的问题。
• 界定为使有限群不变生成所需随机元素的期望数量（即切波塔列夫不变量 $C(G)$）的上界。
• 证明每个非交换有限单群均可由两个元素不变生成，该结果具有独立兴趣。
• 利用有限单群的分类及群论结构工具，建立 $d_I(G)$ 和 $C(G)$ 的严格上界。
• 比较不变生成与标准生成，突出显示 $d_I(G)$ 可远大于 $d(G)$ 的情形。

提出的方法

• 以有限单群的分类为基础，分析主序列与极大子群。
• 应用 [CC] 和 [FG1] 中关于传递置换群中无不动点元素数量的界。
• 利用 [LPS] 中关于有限群中极大子群数量的最新结果，以控制切波塔列夫不变量。
• 分析有限李型群中半单元素的中心化子，以界定共轭类大小，从而控制不变生成概率。
• 利用 [FG1] 和 [LuP] 中导出的结果，即存在绝对常数 $\epsilon > 0$，使得极大子群的密度 $v(M) \geq \epsilon$。
• 结合概率群论、特征和估计及共轭类结构，界定随机元素不变生成 $G$ 的概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于有限群 $G$，其最小不变生成集的大小 $d_I(G)$ 的最大可能值是多少？
• RQ2 切波塔列夫不变量 $C(G)$（衡量不变生成所需时间的期望）如何随 $|G|$ 变化？
• RQ3 每个非交换有限单群是否均可由两个元素不变生成？
• RQ4 $d_I(G)$ 和 $C(G)$ 与标准生成数 $d(G)$ 及期望生成时间 $E(G)$ 的关系如何？
• RQ5 是否存在有限单群的 $d_I(G)$ 和 $C(G)$ 的统一上界？这与其李型或交错型结构有何关联？

主要发现

• 每个有限群 $G$ 满足 $d_I(G) \leq \log_2|G|$，且当且仅当 $G$ 为初等阿贝尔 2-群时取等。
• 切波塔列夫不变量满足 $C(G) \leq c|G|^{1/2}\sqrt{\log|G|}$，其中 $c$ 为某绝对常数，且该界几乎紧致。
• 对任意 $r \geq 1$，存在一个有限群 $G$ 满足 $d(G) = 2$ 但 $d_I(G) \geq r$，表明 $d_I(G)$ 可远大于 $d(G)$。
• 每个非交换有限单群均可由两个元素不变生成，该结果通过分析极大子群与中心化子得出。
• 存在绝对常数 $\epsilon > 0$，使得 $k$ 个随机元素不变生成有限单群 $G$ 的概率 $P_I(G,k)$ 满足 $P_I(G,k) \leq 1 - \epsilon^k$，表明以有界 $k$ 个元素进行不变生成的可能性极低。
• 对任意满足 $f(n) \to \infty$ 的函数 $f$，当 $|G| \to \infty$ 时 $P_I(G,f(|G|)) \to 1$，表明只需略高于对数数量的随机选择，不变生成即变得可能。