[论文解读] Invariance of Lyapunov characteristic exponents, Lyapunov exponents, and Lyapunov dimension for regular and non-regular linearizations

Н. В. Кузнецов, Tatyana A. Alexeeva+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2014

Chaos control and synchronization参考文献 44被引用 17

一句话总结

本文建立了在相空间微分同胚和保持方向的时间重参数化下，李雅普诺夫特征指数与李雅普诺夫维数的不变性，即使在非正则线性化情况下也成立。它将李雅普诺夫维数的定义推广至非正则情形，并证明了其不变性，为在不依赖正则性假设的前提下分析动力系统提供了稳健的框架。

ABSTRACT

In the paper the question of invariance of Lyapunov exponents for regular and non-regular linearizations under the change of coordinates and time reparametrization is considered. The relation between Lyapunov exponents and Lyapunov characteristic exponents is discussed. Definition of Lyapunov dimension is generalized for non-regular linearization. The invariance of Lyapunov dimension and under time rescaling, which preserves direction, and under diffeomorphism of the phase space is demonstrated.

研究动机与目标

• 研究在正则与非正则线性化情形下，相空间坐标变换与时间重参数化对李雅普诺夫特征指数不变性的影响。
• 阐明在动力系统背景下李雅普诺夫指数与李雅普诺夫特征指数之间的关系。
• 将李雅普诺夫维数的定义扩展至非正则线性化情形，确保其在标准正则情形之外的适用性。
• 证明李雅普诺夫维数在相空间微分同胚及保持时间方向的时间重标度下的不变性。

提出的方法

• 分析相空间中微分同胚坐标变换对李雅普诺夫特征指数行为的影响。
• 研究时间重参数化对李雅普诺夫指数的影响，特别是当时间方向被保持时。
• 利用李雅普诺夫特征指数的概念，将标准李雅普诺夫维数定义推广至非正则线性化情形。
• 通过微分同胚与时间重标度下的变换分析，建立李雅普诺夫维数的不变性。
• 利用线性化系统的理论分析，推导在光滑变量变换与时间变换下的不变性性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 李雅普诺夫特征指数在相空间的微分同胚变换下是否保持不变？
• RQ2 在非正则线性化情形下，李雅普诺夫指数与李雅普诺夫特征指数之间有何关系？
• RQ3 李雅普诺夫维数的定义能否推广至非正则线性化情形？
• RQ4 在保持时间方向的时间重标度下，李雅普诺夫维数是否保持不变？
• RQ5 李雅普诺夫维数在相空间的光滑坐标变换下是否保持不变？

主要发现

• 李雅普诺夫特征指数在相空间的微分同胚变换及保持方向的时间重参数化下保持不变。
• 李雅普诺夫指数与李雅普诺夫特征指数之间的关系在非正则情形下得到形式化澄清。
• 李雅普诺夫维数的定义已成功推广至非正则线性化情形，显著拓宽了其适用范围。
• 李雅普诺夫维数在相空间的微分同胚变换及保持方向的时间重标度下保持不变。
• 该理论框架确保了在不同坐标与时间表示下动力系统的不变量保持一致，即使在非正则情形下亦成立。